Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножыть на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у=ƒ(u), u=φ(ν), ν=g(х), то у'_х=у'_u•u'_ν•ν'_х. Пусть у=ƒ(х) и х=φ(у) — взаимно обратные функции.

Теорема 20.6. Если функция у=ƒ(х) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную ƒ'(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х=φ(у) также имеет производную φ'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством

Рассмотрим обратную функцию х=φ(у). Дадим аргументу у приращение ∆у 0. Ему соответствует приращение ∆х обратной функции, причем ∆х 0 в силу строгой монотонности функции у=ƒ(х). Поэтому можно записать

Если ∆у→0, то в силу непрерывности обратной функции приращение ∆х→0. И так как

то из (20.7) следуют равенства

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

<< Пример 20.3

Найти производную функции у=log₂³tg x⁴. Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у=u³, где u=Iog₂z, где z=tgq, где q=х⁴. По правилу дифференцирования сложной функции (у'_х=y'_u•u'_z•z'_q•q'_x) получаем:

Производные основных элементарных функций.

25. Логарифмическое дифференцирование.

ри вычислении производной от логарифма произведения, частного, степени или корня, для упрощения нахождения производной проводят предварительное преобразование (см. Пример 10(и)).

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать (по умолчанию имеется в виду натуральный логарифм). Затем найти производную от этого логарифма и по ней отыскать производную от заданной функции. Такой прием называется логарифмическим дифференцированием.

Метод логарифмического дифференцирования позволяет легко найти производную показательно-степенной функции вида

,

где и – дифференцируемые функции аргумента .

Пример 14.

Найти производную функции .

Решение.

Прологарифмируем обе части функции и преобразуем выражение:

.

Теперь дифференцируем уравнение, как неявно заданную функцию:

;

;

;

;

Так как , то окончательно получаем:

26. Производные неявных функций. Что такое неявная функция? Давайте сначала вспомним: Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .

Переменная называется независимой переменной или аргументом.
Переменная называется зависимой переменной или функцией.

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Рассмотрим функцию

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек», а справа – только «иксы». То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную .

Рассмотрим другую функцию:

Здесь переменные и расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.: – пример неявной функции.

В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.

. Пример 1 Найти производную от функции, заданной неявно

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:

2) Используем правила линейности производной

3) Непосредственное дифференцирование.
Как дифференцировать и совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»?

– просто до безобразия, производная от функции равна её производной: .

Как дифференцировать
Здесь у нас сложная функция. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция, – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :

Произведение дифференцируем по обычному правилу :

Обратите внимание, что – тоже сложная функция, любой «игрек с наворотами» – сложная функция:

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:


Если есть скобки, то раскрываем их:

4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное:
5) В левой части выносим производную за скобки:

6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:

Производная найдена. Готово.

Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» более общая и корректная, – эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под фразой «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.

Второй способ решения

Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные. Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт, иначе в голове будет полная каша.

Найдем производную неявной функции вторым способом.

Переносим все слагаемые в левую часть:

 

И рассматриваем функцию двух переменных:

Тогда нашу производную можно найти по формуле
Найдем частные производные:

Таким образом:

Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2

Найти производную от функции, заданной неявно

Навешиваем штрихи на обе части:

Используем правила линейности:

Находим производные:

Раскрываем все скобки:

Переносим все слагаемые с в левую часть, остальные – в правую часть:

У В левой части выносим за скобку:

Окончательный ответ:

Пример 4

Найти производную от функции, заданной неявно

Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности:

Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного :

Раскрываем скобки:

Теперь нам нужно избавиться от дроби. Это можно сделать и позже, но рациональнее сделать сразу же. В знаменателе дроби находится . Умножаем каждое слагаемое каждой части на . Если подробно, то выглядеть это будет так:

Иногда после дифференцирования появляется 2-3 дроби. Если бы у нас была еще одна дробь, например, , то операцию нужно было бы повторить – умножить каждое слагаемое каждой части на

Далее алгоритм работает стандартно, после того, как все скобки раскрыты, все дроби устранены, слагаемые, где есть «игрек штрих» собираем в левой части, а в правую часть переносим всё остальное:

В левой части выносим за скобку:

Окончательный ответ:

27. Параметрически заданные функции и их дифференцирование.