Геом задача повышенной сложности

 

Треугольники

Четырехугольники

Окружности

Комбинации

 

Треугольники

Задание 26 № 78

1. Через се­ре­ди­ну K ме­ди­а­ны BM тре­уголь­ни­ка ABC и вер­ши­ну A про­ве­де­на прямая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхугольника KPCM.

Решение.

Проведём от­ре­зок MT, па­рал­лель­ный AP. Тогда MT — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APC и CT = TP, а KP — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BMT и TP = BP. Обо­зна­чим пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKP через . Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка KPС, име­ю­ще­го ту же вы­со­ту и вдвое боль­ше основание, равна . Зна­чит пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKB равна и равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка СMK (треугольники имеют одну высоту, проведённую из вер­ши­ны С, и рав­ные рав­ные основания), ко­то­рая в свою оче­редь равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВК равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АМК. Итак, Значит,

 

Ответ: 0,6.

Критерии проверки:

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1301.

Задание 26 № 311242

2. Площадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 80. Бис­сек­три­са AD пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка EDCK.

Решение.

 

 

Пусть AK=KC=3x, тогда AB=2x, так как по свой­ству биссектрисы. Значит,

Пусть S - пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, тогда

 

 

Таким образом,

 

Ответ: 36.

Критерии проверки:

Задание 26 № 340325

3. В тре­уголь­ни­ке ABC на его ме­ди­а­не BM от­ме­че­на точка K так, что BK: KM = 4: 1. Прямая AK пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке P. Найдите от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхугольника KPCM.

Решение.

Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, значит, У треугольников и высота, проведенная к стороне общая, поэтому площади этих треугольников относятся как их основания и откуда:

 

 

Проведём прямую параллельную Точка — середина следовательно, — средняя линия треугольника значит, По теореме Фалеса для угла находим: а так как получаем, что

Стороны треугольников и сонаправлены, их площади относятся как произведение отношений сонаправленных сторон, поэтому

 

то есть откуда

Тем самым, для искомого отношения площадей имеем:

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 26 № 314829

4.

На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 2 м, а длин­ное плечо — 6 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 0,5 м?

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Здесь AC — по­ло­же­ние «журавля» до опускания, BD — по­ло­же­ние после опускания, AH — высота, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча, CK — высота, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длинного.

В рав­но­бед­рен­ных треугольниках AOB и COD углы AOB и COD, про­ти­во­ле­жа­щие основаниям, равны как вертикальные, по­это­му равны и углы при их основаниях. Тем самым, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, и

 

 

Накрест ле­жа­щие углы 1 и 2, об­ра­зо­ван­ные при пе­ре­се­че­нии секущей BD пря­мых AB и CD, равны, по­это­му пря­мые AB и CD параллельны. Тогда сто­ро­ны углов 3 и 4 по­пар­но па­рал­лель­ны, а значит, эти углы равны.

Следовательно, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AHB и CDK подобны, по­сколь­ку имеют рав­ные ост­рые углы. Имеем:

 

 

Ответ: 1,5.

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 26 № 314841

5. Через се­ре­ди­ну K ме­ди­а­ны BM тре­уголь­ни­ка ABC и вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK.

Решение.

Проведём от­ре­зок па­рал­лель­ный вспомним, что точка — се­ре­ди­на сле­до­ва­тель­но, — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка зна­чит Ана­ло­гич­но — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка то есть

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Рас­смот­рим тре­уголь­ник он имеет общую вы­со­ту с тре­уголь­ни­ком и вдвое боль­шее основание, сле­до­ва­тель­но его пло­щадь равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна и такую же пло­щадь имеет тре­уголь­ник по­сколь­ку они имеют одну высоту, проведённую из вер­ши­ны и рав­ные основания. Ана­ло­гич­но пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка а пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

Подведём итог:

 

Отношение пло­ща­ди четырёхугольника к пло­ща­ди четырёхугольника

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 26 № 315070

6. Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

Решение.

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких треугольника, по­это­му Бис­сек­три­са делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но при­ле­жа­щим сторонам, то есть:

 

 

Откуда Рас­смот­рим тре­уголь­ник — биссектриса, следовательно:

 

 

Откуда Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка

 

 

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди четрёхуголь­ни­ка к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 26 № 314866

7. Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM.

Решение.

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких треугольника, по­это­му Бис­сек­три­са делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но при­ле­жа­щим сторонам, то есть:

 

 

Откуда Рас­смот­рим тре­уголь­ник — биссектриса, следовательно:

 

 

Откуда Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка

 

 

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка к пло­ща­ди четырёхугольника

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 26 № 316361

8. Найдите ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го треугольника, если его ги­по­те­ну­за равна 12, а пло­щадь равна 18.

Решение.

Из вер­ши­ны пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка проведём ме­ди­а­ну и вы­со­ту Тогда

 

 

 

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы по­это­му

 

Следовательно,

 

Ответ: 15°, 75°.

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.02.2014 ва­ри­ант МА90501.

Задание 26 № 333323

9. В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са BE и ме­ди­а­на AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и имеют оди­на­ко­вую длину, рав­ную 96. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC.

Решение.

Пусть — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков и (см. рис.). Тре­уголь­ник — равнобедренный, так как его бис­сек­три­са яв­ля­ет­ся высотой. По­это­му

 

; .

 

По свой­ству бис­сек­три­сы треугольника

 

 

Проведём через вер­ши­ну прямую, па­рал­лель­ную . Пусть — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны . Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков и следует, что По­это­му и Следовательно

 

;

;

Ответ: ; ;

Критерии проверки:

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 06.05.2014 ва­ри­ант МА90701.

Задание 26 № 339514

10. Медиана BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC от­но­сит­ся к длине сто­ро­ны AB как 9:7. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхугольника KPCM.

Решение.

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких треугольника, по­это­му Бис­сек­три­са делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но при­ле­жа­щим сторонам, то есть:

 

 

Откуда Рас­смот­рим тре­уголь­ник — биссектриса, следовательно:

 

 

Откуда Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка

 

 

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка к пло­ща­ди четырёхугольника

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 26 № 311252

11. Стороны тре­уголь­ни­ка равны соответственно. Точка рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка при­чем отрезок пе­ре­се­ка­ет отрезок в точке, от­лич­ной от Известно, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми и по­до­бен исходному. Най­ди­те косинус угла если

Решение.

Рассмотрим по­доб­ные треугольники и и уста­но­вим соответствие между их углами. —наибольшая сто­ро­на треугольника а значит, — наи­боль­ший угол тре­уголь­ни­ка Так как в тре­уголь­ни­ке есть тупой угол то в тре­уголь­ни­ке это угол Следовательно, угол тре­уголь­ни­ка не равен углу тре­уголь­ни­ка Он также не равен углу т. к. боль­ше его (луч про­хо­дит между лу­ча­ми и ). Следовательно, . По тео­ре­ме косинусов в тре­уголь­ни­ке имеем:

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 26 № 340065

12. Одна из бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка де­лит­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис в от­но­ше­нии 40:1, счи­тая от вершины. Най­ди­те пе­ри­метр треугольника, если длина сто­ро­ны треугольника, к ко­то­рой эта бис­сек­три­са проведена, равна 30.

Решение.

Проведем по­стро­е­ния и введём обозначения как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник — биссектриса, по свой­ству биссектрисы:

 

 

Рассмотрим тре­уголь­ник — биссектриса, по свой­ству биссектрисы:

 

 

Складывая два по­лу­чив­ших­ся равенства, получаем:

 

 

Таким образом, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен 1230.

 

Ответ: 1230.

Критерии проверки:

Задание 26 № 351296

13. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 28, а площадь равна 98.

Решение.

Из вер­ши­ны пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка проведём ме­ди­а­ну и вы­со­ту Тогда

 

 

 

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы по­это­му

Следовательно,

 

Ответ: 15°, 75°.

Задание 26 № 352418

14. В треугольнике на его медиане отмечена точка так, что . Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника

Решение.

По свойству медианы, медиана делит треугольник на два равновеликих, т.е. . Из условия известно, что . Следовательно,

 

 

Ответ: 0,15

Задание 26 № 353377

15. Одна из бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка де­лит­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис в от­но­ше­нии 7:2, счи­тая от вершины. Най­ди­те пе­ри­метр треугольника, если длина сто­ро­ны треугольника, к ко­то­рой эта бис­сек­три­са проведена, равна 16.

Решение.

Проведем по­стро­е­ния и введём обозначения как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник — биссектриса, по свой­ству биссектрисы:

 

 

Рассмотрим тре­уголь­ник — биссектриса, по свой­ству биссектрисы:

 

 

Складывая два по­лу­чив­ших­ся равенства, получаем:

 

 

Таким образом, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен 72.

 

Ответ: 72.

Ответ: 72

Задание 26 № 353380

16. В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са BE и ме­ди­а­на AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и имеют оди­на­ко­вую длину, рав­ную 84. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC.

 

Четырёхугольники

Задание 26 № 339388

1. Высота AH ромба ABCD делит сто­ро­ну CD на от­рез­ки DH = 21 и CH = 8. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Угол и равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сторонами. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они прямоугольные, углы и равны, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Диа­го­на­ли ромба де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния пополам: Получаем:

 

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ис­поль­зуя тео­ре­му Пи­фа­го­ра найдём

 

 

Ответ: 20.

 

-----------

Приведем дру­гое решение:

 

Критерии проверки:

Задание 26 № 339373

2. Вершины ромба рас­по­ло­же­ны на сто­ро­нах параллелограмма, а сто­ро­ны ромба па­рал­лель­ны диа­го­на­лям параллелограмма. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей ромба и параллелограмма, если от­но­ше­ние диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма равно 28.

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. По­сколь­ку и получаем, что — параллелолограмм, следовательно, углы и равны. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и угол — общий, углы и равны как со­от­вет­ствен­ные при па­рал­лель­ных прямых, углы и — аналогично, следовательно, тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны по двум углам. От­ку­да Ана­ло­гич­но по­доб­ны тре­уголь­ни­ки и от­ку­да Пусть сто­ро­на ромба равна а длина ко­рот­кой диа­го­на­ли равна Сло­жим два по­лу­чен­ных уравнения:

 

 

 

Площадь ромба можно найти как про­из­ве­де­ние сто­рон на синус угла между ними: Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей на синус угла между ними: Найдём от­но­ше­ние пло­ща­дей ромба и параллелограмма:

 

 

Ответ:

Критерии проверки:

Задание 26 № 339398

3. Боковые сто­ро­ны AB и CD тра­пе­ции ABCD равны со­от­вет­ствен­но 20 и 25, а ос­но­ва­ние BC равно 5. Бис­сек­три­са угла ADC про­хо­дит через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB. Най­ди­те пло­щадь трапеции.

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой в точке Углы и равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных прямых. Значит, следовательно, тре­уголь­ник — равнобедренный: Найдём Углы и равны как вертикальные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и сто­ро­ны и равны, углы и равны как вертикальные, углы и равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных прямых, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Проведём пря­мую па­рал­лель­ную Пря­мая па­рал­лель­на пря­мая па­рал­лель­на следовательно, четырёхугольник — параллелограмм, от­ку­да Найдём Рас­смот­рим тре­уголь­ник заметим, что

 

Следовательно, по теореме, об­рат­ной тео­ре­ме Пифагора, получаем, что тре­уголь­ник — прямоугольный, следовательно, — вы­со­та трапеции. Найдём пло­щадь трапеции:

 

 

Ответ: 250.

Критерии проверки:

Задание 26 № 340359

4. Основания тра­пе­ции от­но­сят­ся как 1:3. Через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей про­ве­де­на прямая, па­рал­лель­ная основаниям. В каком от­но­ше­нии эта пря­мая делит пло­щадь трапеции?

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Отрезок, про­хо­дя­щий через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей трапеции, равен сред­не­му гар­мо­ни­че­ско­му её оснований. Пусть тогда и По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки и подобны, их вы­со­ты и , про­ве­ден­ные со­от­вет­ствен­но к сто­ро­нам и от­но­сят­ся как 3:1. Тем самым, для от­но­ше­ния ис­ко­мо­го от­но­ше­ния пло­ща­дей тра­пе­ций и имеем:

 

 

Ответ: 5:27.

Критерии проверки:

Задание 26 № 341292

5. Основания тра­пе­ции относятся как 2:3. Через точку пе­ре­се­че­ния диагоналей про­ве­де­на прямая, па­рал­лель­ная основаниям. В каком от­но­ше­нии эта пря­мая делит пло­щадь трапеции?

Решение.

Пусть диа­го­на­ли AC и BD тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC = 2 a, AD = 3 a пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, а прямая, па­рал­лель­ная основаниям и про­хо­дя­щая через точку O, пе­ре­се­ка­ет боковые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но (см. рис.).

Треугольник BOC по­до­бен треугольнику DOA с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му треугольник AMO по­до­бен треугольнику ABC с ко­эф­фи­ци­ен­том Значит, Аналогично, Следовательно, Пусть h ₁ и h ₂ — вы­со­ты подобных тре­уголь­ни­ков BOC и DOA, проведённые из общей вер­ши­ны O. Тогда Следовательно,

 

 

Ответ: 44:81.

Критерии проверки:

Задание 26 № 311926

6. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD бо­ко­вые сто­ро­ны равны мень­ше­му ос­но­ва­нию BC. К диа­го­на­лям тра­пе­ции про­ве­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CE. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника BCEH, если пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 36.

Решение.

По свой­ству рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции следовательно, тре­уголь­ни­ки и равны. Так как = тре­уголь­ни­ки и равнобедренные, следовательно, и — со­от­вет­ству­ю­щие ме­ди­а­ны этих треугольников. Значит, От­ре­зок со­еди­ня­ет се­ре­ди­ны диа­го­на­лей трапеции, следовательно, и пря­мые и параллельны, поэтому, — трапеция. Проведём — вы­со­ту тра­пе­ции и — вы­со­ту тра­пе­ции