Равномерное распределение ДСВ

Виды распределений случайных величин

Равномерное распределение ДСВ

Случайная величина , принимающая целые значения от 1 до , имеет равномерное распределение, если

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию равномерно распределенной случайной величины :

;

Пример. Имеется связка из 5 ключей, из которых только один подходит к открываемому замку. Найти распределение случайной величины – числа ключей, которые пришлось опробовать прежде, чем открыли замок.

Очевидно, может принимать значения от 1 до 5, вероятности которых можно вычислить так:

; .

Если , значит, опробованы 2 ключа. Данное событие представляет собой произведение двух событий: первый ключ не подошел, вероятность 4/5, второй подошел – вероятность 1/4.

Далее рассуждаем аналогично:

; ;

.

Биномиальное распределение ДСВ

Случайная величина , принимающая целые значения от 0 до , имеет биномиальное распределение, если

.

Такое распределение имеет случайная величина , равная числу осуществлений некоторого события А в серии из испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна . Числовые характеристики биномиального распределения можно найти по формулам:

.

Пример. В корзине 50 шаров, из них 10 черных. Достают 5 шаров, причем выборка осуществляется с возвращением. Охарактеризовать случайную величину Х — число обнаруженных в выборке шаров черного цвета.

Величина Х может принимать значения от 0 до 5, т. к. выборка проводится с возвращением, вероятность обнаружить всякий раз черный шар постоянна и равна 10/50 = 0,2. Вероятности каждого значения вычислим по формуле Бернулли:

, где .

Получим ряд распределения:

	0,32768	0,4096	0,2048	0,0512	0,0064	0,00032

Найдем функцию распределения :

		0,32768	0,73728	0,94208	0,99328	0,99968

Наивероятнейшее значение () определяется из неравенства

или .

Целым значением, удовлетворяющим этим двум неравенствам, является = 1. Значит, , что видно и из ряда распределения.

Распределение Пуассона ДСВ

Случайная величина , принимающая бесконечное множество значений 0,1,2… имеет распределение Пуассона, если

,

где – параметр распределения, имеет смысл среднего числа наступлений события за единицу времени. Величины, которые подчиняются подобному распределению, были описаны в разделе.

Числовые характеристики пуассоновского распределения:

.

Виды распределений случайных величин

Равномерное распределение ДСВ

Случайная величина , принимающая целые значения от 1 до , имеет равномерное распределение, если

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию равномерно распределенной случайной величины :

;

Пример. Имеется связка из 5 ключей, из которых только один подходит к открываемому замку. Найти распределение случайной величины – числа ключей, которые пришлось опробовать прежде, чем открыли замок.

Очевидно, может принимать значения от 1 до 5, вероятности которых можно вычислить так:

; .

Если , значит, опробованы 2 ключа. Данное событие представляет собой произведение двух событий: первый ключ не подошел, вероятность 4/5, второй подошел – вероятность 1/4.

Далее рассуждаем аналогично:

; ;

.