Определение определителя квадратной матрицы.

Необходимость введения определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу А, - тесно связана с решением систем линейных уравнений. Именно определитель квадратной матрицы системы дает

ответ на вопрос, имеет ли решение система уравнений.

 

Определитель матрицы А обозначается или .

Определителем квадратной матрицы первого порядка , или определителем первого порядка, называется число : .

Пример: Вычислить определитель квадратной матрицы первого порядка .

Решение:

 

Определителем квадратной матрицы второго порядка где i=j=1,2, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Пример: Вычислить определители матриц второго порядка А= В=

Решение:

Определителем матрицы третьего порядка А= где i=j=1,2,3, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Определитель третьего порядка удобно вычислять, пользуясь правилом Сарруса или правилом треугольников:

(+) (главная диагональ)

(-) (другая диагональ)

 

Пример: Вычислить определители квадратных матриц третьего порядка

А= В=

Решение:

 

Определение определителя квадратной матрицы n-го порядка, n >3, весьма громоздко и требует введения новых сложных понятий. Поэтому рассмотрим достаточно доступный способ вычисления определителя n-го порядка, где .

 

Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка.

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)–го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием строки i и столбца j.

Например, минором элемента матрицы А третьего порядка является определитель второго порядка, получаемый вычеркиванием второй строки и третьего столбца:

 

Пример: Для данной матрицы А = записать миноры элементов .

Решение:

 

; .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком :

Пример: Записать алгебраические дополнения элементов матрицы А= .

Решение: Воспользуемся уже найденными минорами этих элементов.

; ;

 

; .

Т.е., минор и алгебраическое дополнение одного и того же элемента матрицы могут либо совпадать (если сумма индексов есть число четное), либо быть числами противоположными (если сумма индексов есть число нечетное).

 

Важное значение для вычисления определителей n-го порядка, где . имеет следующая теорема:

Теорема (частный случай теоремы Лапласа):

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Указанные в теореме разложения выглядят следующим образом:

 

а) по элементам i строки, i=1,…,n:

 

б) по элементам j столбца, j=1,…,n:

 

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что эта теорема позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению более простых определителей (n-1) –го порядка.

 

Пример: Вычислить определитель четвертого порядка по теореме Лапласа

Решение:

 

 

Замечание: С помощью теоремы Лапласа можно вычислять и определитель третьего порядка.

 

Пример: Вычислить по теореме Лапласа определитель матрицы третьего порядка

.

Решение:

Свойства определителей.