IV. Интегральный признак Коши.

Теорема. Пусть члены ряда положительны и пусть такая непрерывная функция, что , , … , …, причем функция невозрастающая на интервале при некотором . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд ,

2) если несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд .

Для краткости говорят: «Ряд и интеграл ведут себя одинаково».

Замечание. Для применения интегрального признака к исследованию сходимости ряда надо подобрать такую функцию , что , т.е. попросту говоря выписать и заменить в нем n на x, и затем исследовать сходимость интеграла . Это имеет смысл делать только тогда, когда полученный интеграл достаточно легко вычисляется.

Примеры.

1) Применим интегральный признак к исследованию на сходимость ряда вида , , называемого обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле.

Решение. В этом случае требуемой функцией является . Функция является невозрастающей на интервале . Вычислим .

Если , то .

Если , то .

Следовательно, несобственный интеграл сходится при и расходится при . То же самое можно сказать и о данном ряде.

Запомнить! Обобщенный гармонический ряд сходитсяпри и расходится при .

2) Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Выписав и заменив в нем n на x, получим функцию .

Внимание! Пока мы не убедились, что функция невозрастающая на некотором интервале вида , к интегрированию переходить рано!

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной: . Критическая точка , на интервале , функция убывает. Теперь можно переходить к интегрированию.

, интеграл расходится, расходится и данный ряд.

V. Признаки сравнения.

Теорема. Первый признак сравнения (признак сравнения в форме неравенства). Пусть даны два ряда с положительными членами:

(7)

(8)

причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т.е. при любом

(9)

Тогда: а) если сходится ряд (8), то сходится и ряд (7)

б) если расходится ряд (7), то расходится и ряд (8).

 

Удобно применять другую формулировку этой теоремы:

а) если больший ряд сходится, то меньший ряд тоже сходится;

б) если меньший ряд расходится, то больший ряд тоже расходится;

Примеры. Исследовать сходимость следующих рядов:

1)

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим , мысленно отбросив его первый член, равный 1 (что, естественно, не повлияет на сходимость ряда). Т.к. , , и вообще, (ведь ), то члены данного ряда больше членов расходящегося гармонического ряда, и, следовательно, на основании признака сравнения данный ряд расходится.

Понятно, что для применения признака сравнения в форме неравенства нужно сначала установить подходящее неравенство. При этом часто пользуются следующими стандартными неравенствами:

, (10)

,

.

Иногда приходится применять более сложные неравенства:

,

,

,

,

при некотором . (11)

2)

Решение. Прежде всего, заметим, что это ряд с положительными членами, т.к. синус возводится в положительную степень. Далее, очевидное неравенство позволяет заключить, что , а поскольку ряд сходится, то и ряд с меньшими членами тоже сходится.

3)

Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы, следующим образом:

(здесь мы учли, что ).

Т.к. ряд – сходится (как обобщенный гармонический при ), то исследуемый ряд также сходится.

 

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

а) геометрический ряд – сходится при , расходится при ,

б) обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный» ряд, но и доказать неравенство (9), для чего часто требуется преобразование рядов (например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определенные числа и т. п.). Более простым оказывается признак сравнения в предельной форме – ведь вычислять пределы обычно гораздо проще, чем доказывать неравенства.

Теорема.Второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме). Если и – ряды с положительными членами и существует предел отношения их общих членов , причем , то ряды ведут себя одинаково: либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Чаще всего исследуемый ряд сравнивают с обобщенным гармоническим рядом , причем p удобно подбирать в процессе сравнения, как это сделано ниже в примере 1.

Примеры.

1)

Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом , причем p подберем в процессе сравнения.

Выпишем предел и преобразуем его:

(12)

Мы пришли к пределу отношения двух степенных выражений на бесконечности. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0, а это тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен , а это опять тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Таким образом, нас устроит только случай, когда степень числителя равна степени знаменателя, т.е. , или (в этом случае предел равен отношению старших коэффициентов, т.е. не 0 и не ). Итак, исследуемый ряд ведет себя так же, как и ряд , т.е. сходится.

Разумеется, решение похожих задач не надо расписывать так подробно. Обычно, выписав предел (12), далее пишут сходится. Ясно, что слово «сходится» относится сразу к двум рядам и к , и к исходному ряду.

Следствием второго (предельного) признака сравнения является третий признак сравнения.

Теорема. Третий признак сравнения (признак сравнения в форме эквивалентных б.м. или кратко эквивалентный признак сравнения). В общем члене ряда бесконечно малый множитель или делитель можно заменить на эквивалентный, поведение ряда (сходимость или расходимость) от этого не изменится.

Замечание 1. Напомним таблицу эквивалентных бесконечно малых величин (при ):

.

Замечание 2. При работе с эквивалентным признаком сравнения необходимо помнить, что таблица эквивалентных бесконечно малых величин выписана при , а в рядах всегда , т.е. n является б.б.. А вот б.м. являются величины вида: (и вообще при ), (и вообще при ).

2)

Решение. Т.к. при (т.е. — б.м.), то , и ряд ведет себя так же, как и ряд – обобщенный гармонический ряд p =1/2<1, т.е. расходится.

На практике запись ведут кратко:

– расходится. Ясно, что слово «расходится» относится к обоим рядам.

3) .

Решение. Т.к. ,то , ряд знакоположительный, и к нему можно применять эквивалентный признак сравнения. Поскольку – б.м. при , то и = .

Последний ряд легко исследуется по признаку Даламбера (он сходится).

Несмотря на то, что предельный и эквивалентный признаки сравнения более просты по сравнению с признаком сравнения в форме неравенства, иногда без первого признака не обойтись. Покажем это на следующем примере, а заодно продемонстрируем, как надо рассуждать в общем и целом при исследовании рядов на сходимость.

4)

Решение. Проверим необходимый признак: – необходимый признак не работает. Попробуем применить признак Даламбера:

,

т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым. Этого следовало ожидать (см. замечание к признаку Даламбера).

Применим признак сравнения в предельной форме. Сравним данный ряд, например, с гармоническим рядом:

,

т.е. ответа о сходимости ряда нет. Аналогичная картина наблюдается и при использовании других «эталонных» рядов.

Применим, наконец, признак сравнения в форме неравенства (первый признак сравнения). Сравним данный ряд с гармоническим, у которого отброшен первый член: ... Т.к. члены рассматриваемого ряда больше членов расходящегося гармонического , что вытекает из неравенства , то данный ряд расходится.

Отметим, что для исследования сходимости данного ряда неприменим и интегральный признак, т.к. первообразная подынтегральной функции не является элементарной функцией, т.е. соответствующий неопределенный интеграл является «не берущимся».

 

Задачи.

А) Исследовать ряды с помощью признака Даламбера:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

B) Исследовать ряды с помощью радикального признака Коши:

7. 8. 9. 10.

C) Исследовать ряды с помощью интегрального признака Коши:

11. 12. 13.

14. 15.

D) Исследовать ряды с помощью признаков сравнения:

16. 17. 18.

19. 20. 21.

Е) Исследовать ряды на сходимость:

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

31. 32. 33.

34. 35. 36.

37. 38. 40.

41. 42. 43.

44. 45. .