Деление отрезка в данном отношении

Пусть даны точки и . Требу-ется найти координаты точки , делящей отрезок прямой, заключенный между М ₁ и М ₂, в отношении , (рис. 7.6).

Рис. 7.6

 

Рассмотрим векторы

и . Они коллинеарны и одинаково направлены, то есть могут отли-чаться только длиной. По условию

 

,

поэтому

 

или в координатной форме

.

 

Из равенства этих двух векторов следует равенство их соот-ветствующих координат:

 

, ,

 

Отсюда

 

, , ,

 

В частности, если точка М делит отрезок М ₁ М ₂ пополам, то и , , , то есть координаты точки, делящей отрезок пополам, равны полусуммам соответствующих координат концов отрезка.

Пример 7.12. Найти координаты точки М, делящей по-полам отрезок прямой , заключенный между плоскостями Oxz и Оxу.

Решение. Найдем точку пересечения прямой с плоскостью Oxz, полагая в уравнениях прямой . Тогда получим

 

 

или

 

Из последней системы находим , . Эти коор-динаты вместе с определяют точку Анало-гично, полагая в уравнениях прямой , имеем: или откуда , . Получим точку пересечения прямой с плоскостью Оxу. Зная координаты концов и отрезка АВ, по формулам деления отрезка пополам определим координаты точки М – середины отрезка АВ: ; ; Итак, – искомая точка.

Пример 7.13. Даны координаты вершин пирамиды , , , . Найти: 1) длины ребер АВ и AC; 2) угол между ребрами АВ и АС; 3) площадь грани АВС; 4) объем пирамиды ABCD; 5) уравнение прямой АВ; 6) уравнение плоскости АВС; 7) уравнение высоты пирамиды, опущенной на грань АВС. Сделать чертеж.

Решение

1) Длина ребра AB совпадает с длиной вектора , поэтому определим координаты векторов и

 

,

.

 

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть

 

 

2) Угол между ребрами AB и AC совпадает с углом между векторами и , который можно определить по формуле:

 

, .

 

3) Грань ABC представляет собой треугольник, его пло-щадь найдем через векторное произведение:

 

так как

.

 

4) Объем пирамиды вычислим по формуле:

 

.

 

Здесь

5) Уравнение прямой, проходящей через точки А, В, имеет вид:

 

, то есть .

 

6) Уравнение плоскости ABC определим из равенства

 

, или

.

 

7) Так как высота – это прямая, перпендикулярная плос-кости ABC, ее направляющим вектором будет вектор-нормаль плоскости ABC, тогда уравнение высоты имеет вид:

 

.

 

Выполним чертеж (рис. 7.5).

Рис. 7.5

 

ТЕМА 8. Функции. Теория пределов

 

Понятие функции

 

В теме 5 мы уже встречались с понятием функции, информация о которой основывалась на материале из школьного курса математики. Здесь это понятие получит свое дальнейшее развитие.

Пусть на действительной оси R заданы два числовых множества и .

Определение. Будем говорить, что на множестве X задана функция f действительной переменной x, если известен закон (отображение), по которому каждому значению по закону f ставится в соответствие единственное значение и обозначается . Переменная x называется аргументом функции f, множество X – областью определения функции, переменная y – значением функции или зависимой переменной, а множество Y – областью значений функции.

Замечание. Область Y значений функции обычно не указыва-ется, так как множество принимаемых значений функции определяет сам закон.

Допускаются многозначные функции (то есть одному x соответствует более одного значения y). Обычно эти случаи оговариваются особо.

Замечание. Для обозначения функциональной зависимос-ти вместо символа функции f можно использовать любую дру-гую букву (но не число) любого алфавита.

Определение. Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция определена, назы-вается областью определения, или областью существования функции, и обозначается .

Определение. Пусть задана функция . Тогда называется значением этой функции при

Пример 8.1. Найти значения функции .

Решение. Вычислим значения функции при заданных значениях аргумента ; .

 

 

Способы задания функции

Чтобы задать функцию , необходимо указать правило, позволяющее по известному значению x находить соответствующее значение y.

Наиболее популярные следующие способы задания функции.

1) Табличный. При табличном задании просто выписы-вается ряд значений независимой переменной и соответствую-щие им значения функции.

Табличный способ задания функций особенно распространен в естествознании и технике. Например, при изучении зависимости электрического сопротивления r некоторого медного стержня от тем-пературы t была получена следующая таблица:

 

t	19,1	25,0	30,1	36,0	40,0	45,1	50,0
r	76,30	77,80	79,75	80,80	82,35	83,90	85,10

 

2) Аналитический. Аналитическое задание функции сос-тоит в том, что дается формула, с помощью которой по задан-ным значениям независимой переменной можно получать соот-ветствующие им значения функции.

Например, или – формулы, которые определяют y как функцию от х.

В свою очередь аналитическое задание функции бывает явное, неявное, параметрическое и др.

Определение. Функция, заданная формулой (аналитически) вида , то есть разрешенной относительно зависимой переменной, называется явной.

Рассмотрим функцию . Здесь y однозначно не выражается через x, это неявная функция. Графиком этой функции является окружность с центром в точке и радиусом .

Определение. Функция, заданная уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной, называется неявной функцией.

Неявная функция может быть как однозначной, так и многозначной. Например, функция является однозначной неявной функцией.

Для доказательства существования неявной функции следует доказать, что существует решение этого уравнения, то есть найти функцию , такую, что вы-полняется равенство , .

Определение. Функция задана параметрически, если соответствующие значения x и y выражены через третью переменную t, называемую параметром, то есть .

Например, – уравнение окружности радиуса а.

3) Графический

Определение. Графиком функции называется множество всех точек плоскости, абсциссы которых являются значениями независимой переменной х, а ординаты – соответствующими значениями функции Равенство называется уравнением этого графика [3].

Функция задана графически, если начерчен ее график.

Если график функции построен (рис. 8.1), то, чтобы найти значение функции , отвечающее какому-нибудь зна-чению , необходимо отложить это значение по оси абсцисс и из полученной точки восстановить перпендикуляр до пересе-чения с графиком функции. Длина этого перпендикуляра, взятая с надлежащим знаком, и равна значению функции . Например, .

Рис. 8.1

 

4) Содержательный. При таком способе задания варианты независимой переменной, функции и ее значения формулируются в виде правил, законов и т. д. Например, конституция, УК и т. п.

Замечание. Представленные способы задания имеют свои достоинства и недостатки. К недостаткам табличного способа задания относится то, что, зная таблицу значений функций, не всегда можно найти аналитическое уравнение функции и соответственно значения функции в точках, не представленных в таблице. Наглядность графического способа задания оказывается неоспо-римым плюсом, к недостаткам относится неточность определяемых значений функции. Абсолютно точным способом задания функции является аналитический, так как если известно уравнение (правило) функции, то для любого возможного x всегда найдется значение y. Самый общий способ задания функции – содержательный, однако он чаще используется в гуманитарных дисциплинах и реже в математике, например, в теории вероятностей.

 

Элементарные функции

Определение. Функции, построенные из простейших эле-ментарных функций и постоянных при помощи конечного чис-ла арифметических действий и конечного числа операций взя-тия функции от функции, называются элементарными.

Простейшими считаются функции:

1) степенная , ;

2) показательная , а >0, а ¹1;

3) логарифмическая , а >0, а ¹1, ;

4) тригонометрические: , , , ;

5) обратные тригонометрические: , , , .

Примером неэлементарной функции является

 

Пусть у является функцией от u, , u Î U, а u – функцией от х, , x Î X, тогда у называется сложной функцией, то есть , определенной для тех x Î X, для которых значения входят во множество U.

Например, ; – сложные функции.

Пусть функция определена на симметричном интервале относительно начала координат, то есть .

Определение. Функция называется четной, если она не изменяет свое значение при изменении знака аргумента, т. е. . Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется, то есть .

Замечание. Отметим, что график четной функции симметри-чен относительно оси Оу, а нечетной – относительно начала координат.

Определение. Функция , , называется периодичес-кой, если существует число такое, что , . Наименьшее число T называется периодом (основным периодом).

 

Задание функций в полярной системе координат

 

Зададим на плоскости точку O, которую назовем полюсом. Проведем из полюса направленную полупрямую, которую назо-вем полярной осью.

Пусть M – произвольная точка плоскости. Соединим точку M с полюсом. Длина отрезка OM равна r и называется полярным радиусом, а угол j, откладываемый от полярной оси к отрезку OM против движения часовой стрелки, – полярным углом (рис. 8.2).

Рис. 8.2

Таким образом, положение точки М на плоскости опреде-ляется двумя координатами r и j, причем r – всегда величина неотрицательная, а угол j может принимать значения от 0 до 2 π, то есть , .