Криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

 

Задание 1. Вычислить криволинейные интегралы:

1. L – ломаная АВС, где А(1;2), В(1;5), С(3;5).

2. , где L – контур Δ ОАВ: О(0;0), А(2;0), В(4;5).

3. , где L – дуга параболы x = y² от т. А(1;1) до В(25;5).

4. где L – контур Δ АВС: А(1;0), В(1;1), С(0;1).

5. .

6. по линии y = 2 x² от О(0;0) до А(1;2).

7. по линии y² = 4 x от О(0;0) до А(1;2).

8. вдоль параболы от начала координат до точки А(1;2).

9. , где L –отрезок прямой от точки А (1;2) до В(2;4).

10. по контуру фигуры, ограниченной линиями у = х², у = 9.

11. , где L – дуга кривой у = х² + 3х, – .

12. вдоль параболы от начала координат до точки А(1;2).

13. , где L – отрезок ОА, О(0;0), А(1;2).

14. , где L – дуга кривой х = t; y = ; z = , где .

15. по окружности ; .

16. , где L – окружность .

17. .

18. , где L – контур треугольника АВС: А(1;1), В (2;2), С (1;3).

19. , где L: от т. М (1;1) до т. N (2;8).

20. , где L – прямоугольник: .

21. , где L: и .

22. , где L – отрезок прямой между точками А(0;-2) и В(4;0).

23. , где L – четверть эллипса , лежащая в первой четверти.

24. , где L – окружность .

25. .

26. , где L: и .

27. , где L: и .

28. , где L – эллипс .

29. , где L – окружность с центром в начале координат.

30. , где L – дуга кривой от точки А (2;2) до точки В(4;4).

 

Задание 2. Проверить, является ли заданное выражение дифференциалом некоторой функции и в случае положительного ответа найти с помощью криволинейного интеграла.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

 

Элементы теории поля.

Задание 3. Даны векторное поле и плоскость (p), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Пусть - основание пирамиды, принадлежащее плоскости (p); - контур, ограничивающий ; - нормаль к , направленная вне пирамиды V.

Требуется вычислить:

1. Поток векторного поля через поверхность в направлении нормали .

2. Циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру , применив теорему Стокса.

3. Поток векторного поля через полную поверхность пирамиды, применив теорему Остроградского.

1. ; (p): .

2. ; (p):

3. ; (p):

4. ; (p):

5. ; (p):

6. ; (p):

7. ; (p):

8. ; (p):

9. ; (p):

10. ;(p):

11. ; (p):

12. ; (p):

13. ; (p):

14. ; (p):

15. ; (p):

16. ; (p):

17. ; (p):

18. ; (p):

19. ; (p):

20. ; (p):

21. ; (p):

22. ; (p):

23. ; (p):

24. ; (p):

25. ; (p):

26. ; (p):

27. ; (p):

28. ; (p):

29. ; (p):

30. ; (p):

Задание 4. Даны функция и вектор .

Требуется:

1) найти направление наибольшего возрастания функции в точке М и скорость возрастания функции в этом направлении;

2) найти ;

3) найти .

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. ;

Задание 5. Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал и найти его, если он существует.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

 

 

Образец выполнения контрольной работы №9

 

Задание 1

1. вычислить криволинейный интеграл.

, где L- отрезок прямой от точки А(0;1) до В(1;3)

Решение: данный интеграл криволинейный интеграл II-го разряда.

а) найдем уравнение прямой АВ по формуле:

Получим:

б) применим формулу

тогда, с учетом того, что , если , и , получим:

ответ 3,5

Задание 2

Вычислить , если L: и

Решение: данный интеграл есть криволинейный интеграл I разряда.

Используем формулу:

Тогда =

= =

= = = =

=

=

= =

=2 -4

=

=

Таким образом,

 

Ответ: .

 

 

Задание 3

Вычислить

 

Решение:

а) проверим условие

 

условие выполняется значит, интеграл не зависит от пути интегрирования.

 

б)

 

 

в качестве пути интегрирования выберем ломанную АОВ, звенья которой параллельны координатным осям:

АО ОУ; управления АО: х=0 dx=0

ОВ ОХ; управления ОВ: у=0 dy=0

 

 

в)

 

Ответ: .

 

 

Задание 4

Вычислить , где L:

Решение:

а) проверим условие (*):

 

Условие (*) не выполняется.

 

Замечание: если условие (*) выполняется, то

б) Вычислим интеграл по формуле Грина:

,

где D-область, ограниченная контуром L.

У нас, =

=

 

 

Ответ:

 

Задание 2. Проверить является ли заданное выражение дифференциалом некоторой функции и, в случае положительного ответа, найти U с помощью криволинейного интеграла:

 

Решение:

Выражение является полным дифференциалом, если верно: (*)

 

Проверим:

а)

 

б)

 

в данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции U. Найдем ее, используя формулу:

где точка из пересечения областей определения функций

 

 

=

 

=

=

=

Т.о,

 

 

Элементы теории поля.

Задание 3.

Дано:

Векторное поле:

Плоскость р:

Пирамида образованная плоскостью р и координатными плоскостями

- основание пирамиды, принадлежащее плоскости р;

- контур, ограничивающий ;

- нормаль к , направленная вне пирамиды V.

 

Вычислить:

1). Поток в.п. через поверхность в направлении нормали

2). Циркуляцию в.п. по замкнутому контуру , применив теорему Стокса.

3). Поток в.п. через полную поверхность пирамиды, применив теорему Остроградского.

 

Решение:

Сделаем чертеж:

 

 

 

 

где -проекция на ;

- координаты нормали к поверхности .

а)

=

знак выбираем исходя из того, что , т.к

 

Т.о,

 

б)

в)

 

г)

 

=

 

д)

=

=

Ответ:

 

 

2. Теорема Стокса:

=

где б - поверхность, «натянутая» на контур L

 

- вычисление циркуляции по формуле Стокса.

а)

 

 

б)

 

в)

 

Ответ:

 

3. Теорема Остроградского:

 

а)

 

 

б)

 

 

Ответ:

 

Задание 4

Дано:

- функция

-векторное поле.

Найти:

1) направление наибольшего возрастания функции в точке М (х, у,z) и скорость возрастания функции в этом направлении;

2) ;

3)

 

Решение:

1) задание можно сформулировать так: найти и

 

 

2)

 

 

 

 

Задание 5. Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал и найти его, если он существует.

Решение: Векторное поле является потенциальным, если

. Проверим.

Поле является потенциальным. Найдем его потенциал, используя формулу:

 

где -произвольная точка из пересечения областей определения функций

 

где

Таким образом,

Проверка: U- потенциал поля U, то должно быть верно:

 

(См. задание). Вывод: потенциал вычислен, верно.

 

Ответ:

 

Контрольная работа №10.

 

Теория вероятностей.

 

Задание 1. В партии из № изделий n изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными.

Вариант	№	n	m	k	Вариант	№	n	m	k

Задание 2. В магазине выставлены для продажи n изделий, среди которых k изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом m изделий будут некачественными.

Вариант	n	k	m	Вариант	n	k	m

 

Задание 3. На сборочное предприятие поступили комплектующие изделия с трех заводов в количестве: с первого завода, со второго завода, с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе , на втором , на третьем . Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

Вариант							Вариант
		0,9		0,8		0,7			0,9		0,8		0,7
		0,8		0,7		0,7			0,8		0,7		0,9
		0,9		0,7		0,9			0,9		0,8		0,8
		0,7		0,9		0,8			0,8		0,6		0,7
		0,9		0,8		0,6			0,9		0,8		0,7
		0,8		0,8		0,9			0,9		0,7		0,8
		0,8		0,9		0,8			0,9		0,8		0,9
		0,7		0,8		0,9			0,9		0,7		0,7
		0,9		0,8		0,9			0,8		0,9		0,8
		0,8		0,7		0,8			0,8		0,8		0,9
		0,9		0,9		0,8			0,9		0,8		0,6
		0,8		0,9		0,8			0,8		0,7		0,8
		0,8		0,9		0,7			0,8		0,9		0,8
		0,9		0,7		0,7			0,9		0,8		0,9
		0,8		0,9		0,9			0,7		0,9		0,7

 

 

Задание 4. Дано распределение дискретной случайной величины X. Найти

математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Вариант	Числовые значения	Вариант	Числовые значения
		-5
	0,4	0,3	0,1	0,2		0,4	0,3	0,3
		0,2	0,5	0,6	0,8
	0,1	0,5	0,2	0,2		0,3	0,1	0,1	0,5
		-6	-2
	0,1	0,3	0,4	0,2		0,3	0,2	0,1	0,4
		0,2	0,5	0,6
	0,5	0,4	0,1			0,4	0,2	0,1	0,3