Канонические уравнения в системе координат Оху

1. Эллипс задается уравнением:

Эллипс симметричен относительно осей Ох, Оу и точки О.

Точки F₁(-c;0) и F₂ (с;0) при а>b (рис1) или F₁(0;-c) и F₂ (0;с) при а<b (рис 2) являются фокусами эллипса (или фокальными точками эллипса), где с находится так:

.

 

2. Гипербола задается уравнениями (4) и (6):

Гипербола (4) симметрична относительно осей Ох, Оу и точки О (рис. 3).

Точки F₁(-c;0) и F₂ (с;0) являются фокусами гиперболы (1.37) (или фокальными точками гиперболы), где с находится так:

Аналогичными свойствами обладает и гипербола (6):

.

Гипербола (6) называется сопряженной к гиперболе (4) (4). При этом точки F₁(0;-c) и F₂ (0;с) – фокусы гиперболы (1.39).

 

 

3. Парабола задается уравнениями (1.40) и (1.41):

а)y2=2px; б) y2=-2px.

(7)

Парабола (7) симметрична (рис. 5) относительно оси Ох. Аналогичными свойствами обладает и парабола (8): ось симметрии – ось Оу, фокус – на оси Оу (рис. 6).

а) x2=2py; б) x2=-2py.

(8)

 

Методические указания

К выполнению контрольной работы

Контрольная работа должна быть выполнена в ученической тетради в клетку с полями. На обложке тетради указываются ФАМИЛИЯ, ИМЯ, ОТЧЕСТВО студента, КУРС, ФАКУЛЬТЕТ и СПЕЦИАЛЬНОСТЬ, по которой он обучается, НОМЕР и ВАРИАНТ контрольной работы.

Условия задач переписываются полностью, после чего приводится подробное решение со ссылками на использованные формулы, с аккуратными чертежами там, где они потребуются. В работе должны быть рассмотрены все задания. Работа, содержащая не все задания или задачи не своего варианта, не зачитывается.

Если работа содержит ошибки, она возвращается студенту с указанием допущенных ошибок. В этом случае студент должен сдать эту же работу повторно с исправлениями допущенных ошибок и дополнениями в конце ранее выполненной работы.

Контрольную работу следует сдать на заочное отделение не позже чем за неделю до начала экзаменационной сессии.

 

Задания контрольной работы

Задание 1: Решить систему линейных уравнений а)методом Гаусса, б) средствами матричного исчисления, в) по формулам Крамера

Вариант 1:

Вариант 2:

Вариант 3:

Вариант 4:

Вариант 5:

Вариант 6:

Вариант 7:

Вариант 8:

Вариант 9:

Вариант 10:

Вариант 11:

Вариант 12:

Вариант 13:

Вариант 14:

Вариант 15:

Вариант 16:

Вариант 17:

Вариант 18:

Вариант 19:

Вариант 20:

Задание 2: Вычислить пределы функций:

 

Вариант 1:

а) б) в)

Вариант 2:

а) б) в)

Вариант 3:

а) б) в)

Вариант 4:

а) б) в)

Вариант 5:

а) б) в)

Вариант 6:

а) б) в)

Вариант 7:

а) б) в)

Вариант 8:

а) б) в)

 

 

Вариант 9:

а) б) в)

 

Вариант 10:

а) б) в)

Вариант 11:

а) б) в)

Вариант 12:

а) б) в)

Вариант 13:

а) б) в)

Вариант 14:

а) б) в)

Вариант 15:

а) б) в)

Вариант 16:

а) б) в)

Вариант 17:

а) б) в)

Вариант 18:

а) б) в)

Вариант 19:

а) б) в)

Вариант 20:

а) б) в)

Задание 3. Найти производные функций.

В пункте в) найти вторую производную:

Вариант 1:

а) б) в)

Вариант 2:

а) б) в)

Вариант 3:

а) б) в)

Вариант 4:

а) б) в)

Вариант 5:

а) б) в)

Вариант 6:

а) б) в)

Вариант 7:

а) б) в)

Вариант 8:

а) б) в)

Вариант 9:

а) б) в)

Вариант 10:

а) б) в)

Вариант 11:

а) б) в)

Вариант 12:

а) б) в)

Вариант 13:

а) б) в)

Вариант 14:

а) б) в)

Вариант 15:

а) б) в)

Вариант 16:

а) б) в)

Вариант 17:

а) б) в)

Вариант 18:

а) б) в)

Вариант 19:

а) б) в)

Вариант 20:

а) б) в)

Задание 4: Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 1: Вариант 2:

Вариант 3: Вариант 4:

Вариант 5: Вариант 6:

Вариант 7: Вариант 8:

Вариант 9: Вариант 10:

Вариант 11: Вариант 12:

Вариант 13: Вариант 14:

Вариант 15: Вариант 16:

Вариант 17: Вариант 18:

Вариант 19: Вариант 20:

Задание 5: Найти неопределенные интегралы:

 

Вариант 1:

а) б)

Вариант 2:

а) б)

Вариант 3:

а) б)

Вариант 4:

а) б)

 

 

Вариант 5:

а) б)

Вариант 6:

а) б)

Вариант 7:

а) б)

Вариант 8:

а) б)

Вариант 9:

а) б)

Вариант 10:

а) б)

Вариант 11:

а) б)

Вариант 12:

а) б)

Вариант 13:

а) б)

Вариант 14:

а) б)

Вариант 15:

а) б)

Вариант 16:

а) б)

Вариант 17:

а) б)

Вариант 18:

а) б)

Вариант 19:

а) б)

Вариант 20:

а) б)

Задание 6: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать рисунок:

Вариант 1:

Вариант 2:

Вариант 3:

Вариант 4:

Вариант 5:

Вариант 6:

Вариант 7:

Вариант 8:

Вариант 9:

Вариант 10:

Вариант 11:

Вариант 12:

Вариант 13:

Вариант 14:

Вариант 15:

Вариант 16:

Вариант 17:

Вариант 18:

Вариант 19:

Вариант 20:

 

Задание 7: Найти частное решение дифференциального уравненияпервого порядка:

Вариант 1:	Вариант 11:
Вариант 2: Вариант 3:	Вариант 12:   Вариант 13:
Вариант 4:	Вариант 14:
Вариант 5:	Вариант 15:
Вариант 6:	Вариант 16:
Вариант 7:	Вариант 17:
Вариант 8:	Вариант 18:
Вариант 9:	Вариант 19:
Вариант 10:	Вариант 20:

Задание 8: Вычислить приблизительно с точностью :

 

Вариант 1:

Вариант 2:

Вариант 3:

Вариант 4:

Вариант 5:

Вариант 6:

Вариант 7:

Вариант 8:

Вариант 9:

Вариант 10:

Вариант 11:

Вариант 12:

Вариант 13:

Вариант 14:

Вариант 15:

Вариант 16:

Вариант 17:

Вариант 18:

Вариант 19:

Вариант 20:

 

Задание 9: Дискретная случайная величина задана по закону. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Вариант 1:

X	-1
p	0,2	0,1	0,15

Вариант 2:

X
p	0,3	0,1	0,15

Вариант 3:

X	-1
p	0,4	0,2	0,12

Вариант 4:

X
p	0,2	0,5	0,15

Вариант 5:

X
p	0,2	0,6	0,14

Вариант 6:

X	-1
p	0,3	0,6	0,15

Вариант 7:

X	-1
p	0,7	0,1	0,12

Вариант 8:

X
p	0,7	0,4	0,11

Вариант 9:

X
p	0,7	0,3	0,14

Вариант 10:

X	-1
p	0,8	0,5	0,15

Вариант 11:

X	-1
p	0,3	0,2	0,17

Вариант 12:

X
p	0,2	0,6	0,14

Вариант 13:

X	-1
p	0,3	0,5	0,15

Вариант 14:

X	-2		-1
p	0,2	0,7	0,13

Вариант 15:

X
p	0,6	0,4	0,14

Вариант 16:

X	-2	-1
p	0,2	0,14	0,15

Вариант 17:

X
p	0,1	0,9	0,8

Вариант 18:

X	-1
p	0,3	0,5	0,9

Вариант 19:

X	-1
p	0,2	0,11	0,25

Вариант 20:

X
p	0,3	0,21	0,4

 

Задание 10.

 

Вариант 1. Построить эллипс 9х²+25у²=225 Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис

Вариант 2. Установить, что уравнение

5х²+9у²-30х+18у+9=0 определяет эллипс, найти его центр C, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Вариант 3. Построить гиперболу 16х²-9у²=144 Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Вариант 4. Установить, что уравнение 16х²-9у²-64х-54у-161=0 определяет гиперболу, найти ее центр C, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.

Вариант 5. Построить параболу у²=6х и найти ее параметры.

Вариант 6. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси Ox и p =1/2.

Вариант 7. Установить, что уравнение y² =4 x −8 определяет параболу, найти координаты ее вершины A и величину параметра p.

Вариант 8. Вычислить фокальный параметр точки M параболы y² =12 x, если y (M)=6.

Вариант 9. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 8, а между фокусами -10. Сделать чертеж.

Вариант10. Найти уравнение параболы, которая симметрична относительно оси Ох, проходит через начало координат и точку М (1; -4)

Вариант 11. Построить эллипс 9х²+25у²=225 Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис

Вариант 12. Установить, что уравнение

5х²+9у²-30х+18у+9=0 определяет эллипс, найти его центр C, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Вариант 13. Построить гиперболу 16х²-9у²=144 Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Вариант 14. Установить, что уравнение 16х²-9у²-64х-54у-161=0 определяет гиперболу, найти ее центр C, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.

Вариант 15. Построить параболу у²=6х и найти ее параметры.

Вариант 16. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси Ox и p =1/2.

Вариант 17. Установить, что уравнение y² =4 x −8 определяет параболу, найти координаты ее вершины A и величину параметра p.

Вариант 18. Вычислить фокальный параметр точки M параболы y² =12 x, если y (M)=6.

Вариант 19. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 8, а между фокусами -10. Сделать чертеж.

Вариант 20. Найти уравнение параболы, которая симметрична относительно оси Ох, проходит через начало координат и точку М (1; -4)