Тема 26. Непрерывные случайные величины,

Их числовые характеристики и законы распределения

Задания для решения на практическом занятии

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей

Требуется: 1) найти коэффициент а; 2) построить график плотности распределения; 3) найти вероятность попадания в промежуток (1; 2).

2. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

Вычислить вероятности попадания случайной величины Х в интервалы (1,5; 2,5) и (2,5; 3,5). Найти плотность распределения (дифференциальную функцию).

3. Дана функция плотности распределения вероятностей случайной величины Х

Найти а и , построить их графики, найти числовые характеристики распределения (математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану).

4. Найти числовые характеристики случайной величины с равномерным распределением.

5. Найти числовые характеристики и интегральную функцию распределения случайной величины с показательным распределением.

6. Все значения равномерно распределенной случайной величины лежат на отрезке [2; 8]. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (3; 5).

7. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с . Найти вероятность того, что в результате испытаний Х попадет в интервал (0,2; 0,5). Найти числовые характеристики этой случайной величины.

8. Время – расформирования состава через горку – случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть – среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 час. Определить вероятность того, что время расформирования состава 1) меньше 30 минут, 2) больше 6 мин, но меньше 24 мин.

9. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 40 и дисперсией D = 200. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (30; 80).

10. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна а = 40 см, а СКО равно s = 0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

11. Диаметр детали, изготавливаемой на станке – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а = 25 см и СКО s = 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

12. Пусть Х – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а = 1,6 и СКО s = 1 см. Какова вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал (1; 2)?

Задания для самостоятельной работы

1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей

Требуется: 1) найти коэффициент а; 2) построить график плотности распределения, 3) найти вероятность попадания в промежуток .

2. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

Вычислить вероятности попадания случайной величины Х в интервалы (1; 2,5) и (2,5; 3,5). Найти плотность распределения (дифференциальную функцию).

3. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей

Найти а и . Построить графики функций и . Найти числовые характеристики распределения (математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану).

4. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с . Найти вероятность того, что в результате испытаний Х попадет в интервал (0,15; 0,6). Найти числовые характеристики этой случайной величины.

5. Время расформирования состава через горку – случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть – среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 час. Определить вероятность того, что время расформирования состава составит более 0,3 часов.

6. Масса вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и СКО s = 0,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т, но не менее 60 т.

7. Мастерская изготавливает стержни, длина которых l представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 25 см и СКО 0,1 см. Найти вероятность того, что отклонение длины стержня в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,25 см.

8. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и СКО s = 0,9 т. Локомотив может вести состав массой не более 6 600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

9. Случайная величина Х подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 2,2 и СКО 0,5. Какова вероятность того, что при первом испытании случайная величина окажется на отрезке [3; 4], а при втором испытании – на отрезке [1; 2].

Таблица значений функции Гаусса

								7
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9