Вероятности. Геометрические вероятности

В этой теме необходимо усвоить три понятия: события, вероятности и относительной частоты появления событий при испытаниях, обратив внимание на свойство устойчивости ее при большом числе испытаний; приобрести навыки в решении задач на вычисление вероятности события по классической формуле.

1. Основным объектом классической теории вероятности является так называемое случайное событие, то есть событие, которое может произойти или не произойти в результате проведенного опыта.

Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием. Рассмотрим виды событий.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.

Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Будем говорить, что случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть случаями (исходами). Событие такой группы называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет появление А.

Пример. В урне находится 8 шаров, на каждом из которых поставлено по одной цифре от 1 до 8. Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (2 или 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. ◄

Числовая величина, характеризующая степень возможности данного события, называется его вероятностью. Если можно пересчитать все возможные исходы проводимого опыта и если ни один из этих исходов не имеет приоритета по сравнению с другими (то есть при большом количестве опытов все исходы наблюдаются с одинаковой частотой), то говорят, что мы имеем дело со схемой случаев.

Будем считать, что — число возможных исходов данного опыта, а — число его исходов, при которых происходит некоторое событие (назовем такие исходы благоприятными или благоприятствующими событию Тогда вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к числу возможных:

.

Заметим, что вероятность достоверного события р =1. Вероятность невозможного события р =0. Кроме того из определения вероятности следует, что для любого события А

.

Пример. Из колоды в 32 карты вынуто последовательно без возвращения 2 карты. Найти вероятность того, что обе они — тузы.

Так как первую карту можно извлечь из колоды 32 способами, а вторую — 31 (поскольку в колоде осталась 31 карта), то число возможных исходов опыта . Определим число благоприятных исходов. Первый туз можно выбрать из четырех, имеющихся в колоде, второй — из трех оставшихся. Значит, число благоприятных исходов и искомая вероятность равна

. ◄

Во многих случаях, однако, непосредственный перебор всех возможных исходов опыта затруднителен в силу их большого количества. Для решения таких задач полезно использовать некоторые комбинаторные формулы, в частности, формулу для числа сочетаний. Напомним, что число сочетаний из по , то есть число различных неупорядоченных наборов из элементов, выбранных из имеющихся различных объектов, равно

В частности, если имеется группа из объектов двух видов ( элементов первого вида и — второго), из которых требуется выбрать элементов, среди которых должно быть предметов первого типа и второго, вероятность того, что случайно извлеченная подгруппа имеет нужный состав, определяется так:

Знаменатель этой дроби представляет собой число возможных исходов опыта, то есть количество различных наборов по элементов, выбранных из имеющихся без учета их качественного состава. В числителе — число благоприятных исходов, представляющее собой число возможных наборов из элементов нужного вида, умноженное на количество возможных наборов из предметов второго типа.

Примеры.

1. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Пусть событие А – номер вынутого шара не превосходит 10. Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m = n =10. Следовательно, Р (А)=1. ◄

2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Так как синих шаров в урне нет, то m =0, n =15. Следовательно, искомая вероятность р =0. ◄

3. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?

Здесь всего случаев n =36. Событие А – появление карты пиковой масти. Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m =9. Следовательно, . ◄

4. Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах?

Составим схему возможных случаев.

	Первая монета	Вторая монета
1 случай 2 случай 3 случай 4 случай	герб герб не герб не герб	герб не герб герб не герб

 

Всего случаев 4. Благоприятствующих случаев 1. Следовательно, р =1/4. ◄

5. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: . Число случаев, когда среди этих двух шаров будут оба белые, равно . Искомая вероятность будет . ◄

6. Из коробки, в которой лежат пять пирожных «эклер» и семь — «наполеон», достали пять пирожных. Найти вероятность того, что среди них два «эклера» и три «наполеона».

Количество возможных исходов опыта представляет собой число сочетаний из 12 по 5:

Число благоприятных исходов является произведением количества способов, которыми можно выбрать два «эклера» из пяти имеющихся, и числа наборов по три «наполеона» из семи:

Следовательно, искомая вероятность равна ◄

7. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины.

Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е. . ◄

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех способами; при этом остальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Искомая вероятность . ◄

8. Пять книг расставляются на полку. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.

Число всех способов, которыми можно расставить на полке пять книг, равно числу перестановок из пяти элементов .

Подсчитаем число благоприятствующих случаев. Две определенные книги можно поставить рядом 2!=2 способами. Оставшиеся книги можно расположить на полке способами. Поэтому .

Итак, . ◄

2. Статистическое определение вероятности. Недостатком классического определения вероятности является то, что не всегда удается узнать, являются исходы испытания равновозможными или не являются.

Относительной частотой р ^* случайного события А называется отношение числа m ^* появления данного события к общему числу n ^* проведенных одинаковых испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться данное событие.

.

Оказывается, что при большом числе испытаний n, относительная частота появления события А в различных сериях отличается друг от друга мало и это отличие тем меньше, чем больше испытаний в сериях.

При статистическом определении вероятностью события называют относительную частоту события при большом числе испытаний или число близкое к ней:

.

 

3. Геометрический метод вычисления вероятностей. Если множество возможных исходов опыта можно представить в виде отрезка прямой или в виде некоторой плоской или трехмерной области, а множество исходов, благоприятных событию — как часть этой области, то вероятность рассматриваемого события определяется следующим образом:

где — длина отрезка (площадь или объем области), задающего множество возможных исходов, а — соответствующая мера множества благоприятных исходов.

Пример. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.

В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь круга: а мерой множества благоприятных исходов — разность площадей круга и треугольника: . Следовательно, вероятность заданного события равна

◄

Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под событием? Как подразделяются события?

2. Какие события называются элементарными или случаями?

3. Сформулируйте аксиомы теории вероятностей и следствия из них

4. Сформулируйте классическое определение вероятности события. Укажите возможные границы вероятности.

5. Что такое относительная частота появления события или частость? В чем состоит свойство статистической устойчивости относительной частоты? В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?

Теоремы сложения и

Умножения вероятностей

Теоремы сложения и умножения вероятностей являются основными, так как на них основываются все дальнейшие положения теории вероятностей. Указанные теоремы позволяют по вероятностям одних событий вычислять вероятности других. В следствии этого они часто применяются для решения различных задач. Следует усвоить методику использования теорем при решении задач.

Суммой событий и называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из событий и , а произведением этих событий — событие, состоящее в том, что произошли оба данных события.

Вероятность суммы двух событий можно найти по теореме сложения вероятностей:

Если события и несовместны, то есть не могут произойти одновременно, то вероятность их произведения равна нулю, и теорема сложения приобретает более простой вид:

Вероятность произведения событий определяется по теореме умножения вероятностей:

где — так называемая условная вероятность события , то есть вероятность при условии, что произошло. Если осуществление события не изменяет вероятности события , то и называются независимыми, и вероятность их произведения равна произведению вероятностей сомножителей:

Заметим, что при решении задач теоремы сложения и умножения обычно используются совместно.

 

Примеры.

1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар а) синий или черный; б) белый, черный или синий.

Обозначим следующие события:

Б – вынули белый шар, ;

Ч – вынули черный шар, ;

С – вынули синий шар, ;

К – вынули красный шар, .

Тогда искомые вероятности будут:

а) .

б)

или . ◄

2. На стеллаже в библиотеке стоит 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

Рассмотрим два способа решения задачи.

Первый способ. Пусть события А – хотя бы один учебник в переплете;

В – один из взятых учебников в переплете, два – без переплета;

С – два в переплете, один без переплета;

D – все три учебника в переплете.

Очевидно, А = В + С + D. Найдем вероятности событий В, С, и D.

, , .

Тогда

.

Второй способ. Вновь А – хотя бы один учебник в переплете;

- ни один из взятых учебников не имеет переплета.

Так как события А и противоположные, то

. ◄

3. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания равны соответственно 0,6 и 0,9. Найти вероятности следующих событий:

— оба попали в цель;

— в цель попал хотя бы один.

Назовем событиями и попадание в мишень соответственно первого и второго стрелка и отметим, что и являются событиями совместными, но независимыми (иными словами, в мишень могут попасть оба стрелка, а вероятность попадания каждого не зависит от результата другого). Событие представляет собой произведение событий и поэтому

Событие является суммой и для определения его вероятности воспользуемся общим видом теоремы сложения:

 

◄

4. В первом ящике 2 белых и 7 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика, ;

- вынули черный шар из первого ящика, ;

В – белый шар из второго ящика, ;

- черный шар из второго ящика, .

 

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или . По теореме об умножении вероятностей , . Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет

. ◄

5. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха; в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Пусть А – попадание первого стрелка, Р (А)=0,8; В – попадание второго стрелка, Р (В)=0,9. Тогда - промах первого, ; - промах второго, . Найдем нужные вероятности.

а) АВ – двойное попадание, Р (АВ)= Р (А) Р (В)=0,72.

б) - двойной промах, .

в) А + В – хотя бы одно попадание,

.

г) - одно попадание,

. ◄

6. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1.

=0,6·0,3·0,2+0,4·0,7·0,2+0,4·0,3·0,8=0,188.

2. .

3. P (АВС)=0,6·0,7·0,8=0,336. ◄

 

7. Из 10 деталей 7 – стандартные. Наудачу берут 6 деталей. Найти вероятность того, что среди них: а) не более одной нестандартной; б) не более двух нестандартных.

а) Обозначим события А – среди взятых 6 деталей нестандартных нет;

В – в 6 выбранных деталях одна нестандартная. Тогда А + В – среди 6 деталей не более одной нестандартной. Найдем Р (А + В). Заметим, что

,

.

Откуда

.

б) Пусть теперь событие А – в шести взятых деталях не более двух нестандартных. Тогда - в выбранных деталях более двух нестандартных, т.е. три.

.

. ◄

8. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

1-й способ. Рассмотрим события: - появление шестерки на первой кости (); - появление шестерки на второй кости (). События и - совместны и независимы, следовательно,

.

2-й способ. Рассмотрим противоположные события: и . Из свойств вероятности и алгебры событий следует

.

 

Следовательно,

. ◄

9. В классе 32 ученика.12 из них носят очки. У 10 – пятерка по русскому языку, из них пятеро носит очки. Определить зависит ли между собой события: ученик носит очки и у ученика пятерка по поведению.

Пусть событие ={ученик носит очки}, событие ={у ученика пятерка по русскому языку}.

Тогда .

Так как , то эти события не независимы. ◄

Формула полной вероятности

И формула Байеса

 

1. Если событие может произойти одновременно с одним из событий , представляющих собой так называемую полную группу попарно несовместных событий (то есть в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно событие из этой группы), то события называются гипотезами, а вероятность события определяется по формуле полной вероятности:

Здесь — вероятность - ой гипотезы, а — условная вероятность события при осуществлении данной гипотезы.

Примеры.

1. В трех одинаковых урнах лежат шары: в первой — 5 белых и 3 черных, во второй — 2 белых и 6 черных, в третьей — 3 белых и 1 черный. Из случайно выбранной урны вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Будем считать гипотезами выбор одной из урн. Поскольку урны одинаковы, каждую из них можно выбрать с одинаковой вероятностью, а так как сумма вероятностей гипотез равна 1, то вероятность каждой гипотезы —

Условная вероятность события , то есть извлечения белого шара из урны, определяется по классическому определению вероятности (количеством благоприятных исходов при этом является число белых шаров, а числом возможных исходов — общее число шаров в урне). Поэтому

 

Используя формулу полной вероятности, получаем:

◄

2. Вероятность изготовления годного изделия данным станком 0,9. Вероятность появления изделия первого сорта среди годных изделий 0,8. Определить вероятность изготовления изделия первого сорта данным станком.

Событие В – изготовление годного изделия данным станком; событие А – появление изделия первого сорта. Очевидно, Р (В)=0,9, . Искомая вероятность будет

. ◄

3. К экзамену надо подготовить 25 вопросов. Студент пришел на экзамен, зная 20. Какова вероятность того, что студент ответит на все три вопроса билета?

Пусть события: А – студент знает первый вопрос;

В – студент знает второй вопрос;

С – студент знает третий вопрос.