Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно рисков.

В играх с природой игроку приходится не только выбирать стратегии для достижения оптимального выигрыша, но и учитывать риски принимаемых решений. Таким образом, критерий Гурвица можно определить относительно рисков, в данном случае, критерий будет представлять собой комбинацию критерия Сэвиджа и миниминного критерия. Этот критерий будем называть критерием пессимизма-оптимизма Гурвица относительно рисков, или (Hur)^r (λ)-критерием, где λ [0,1] – показатель оптимизма.

В качестве показателя неэффективности чистой стратегии A_i по критерию Гурвица относительно рисков

[ (Hur)^r (λ) ] рассматривается число: , i=1,2,…,m (1.1)

где (Sav)_i и µ_i – показатели неэффективности стратегии A_i соответственно по критерию Сэвиджа и по миниминному критерию.

Показатели неэффективности чистой стратегии можно записать в следующей форме:

, λ [0,1], i=1,2,…,m (1.2)

Из которой понятно, что является линейной функцией аргумента λ [0,1] с угловым коэффициентом .

Ценой игры в чистых стратегиях () по критерию Гурвица относительно рисков является наименьший из показателей неэффективности всех чистых стратегий:

, λ [0,1] (1.3)

Чистую стратегию A_k с наименьшим показателем неэффективности называется оптимальной во множестве чистых стратегий по критерию Гурвица относительно рисков, т.е.:

, λ [0,1] (1.4)

Использую формулу (1.1), находим =(Sav)_i и = . Таким образом видно, что критерий Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно рисков при λ = 0 превращается в Критерий Сэвиджа оптимальности чистых стратегий, а при λ = 1 – в миниминный критерий оптимальности чистых стратегий.

Критерий Гермейера оптимальности чистых стратегий

При использовании этого критерия исходная платёжная матрица заменяется матрицей Гермейера. Каждый элемент матрицы мы домножаем на соответствующую вероятность j состояния природы.

для матрицы выигрышей,

для матрицы потерь.

 

Критерий Гермейера применяют игроки не склонные к риску, т.к. каждая стратегия оценивается с точки зрения min по гарантиров. результата.

	, q=0,4	, q=0,2	, q=0,1

Состояние природы образует минимум а затем игрок выбирает стратегию которая принесёт ему максимальный результат. Т.е. он защищает себя.

Пример.

	, q=0,4	, q=0,2	, q=0,1	VGi в.	VGi п.
	3,6	0,8	0,1	0,1	3,6
	2,8	0,2	0,8	0,2	2,8
	4,4	0,6	0,7	0,6	4,4

Исходная матрица

Далее умножаем каждый элемент в столбце на соответствующий коэффициент q. Получим следующую таблицу:

В столбце V^G_{i в.} Находим миним. Элементы по строкам, а в столбце V^G_{i п.} находим макс. Элементы.

Далее находим V^G_{i в} (maxmin), и V^G_{i п.} (minmax)

Получаем следующий ответ: S^*=S₃, V^*=0,6 - выигрыш S^*=S₂, V^*=2,8 - потеря

41. Критерий Ходжа – Лемана оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей. матрица выигрышей

матрица потерь

y- параметр отражающий степень доверия ЛПР к оценкам вероятностей состояния природы. y [0,1] Чем выше у, тем выше доверие игрока А к оценкам вероятности. А следовательно от того как У зависит доминирует первое слагаемое или второе.

Критерий Ходжа-Лемана

1) Предположим, что матрицей выигрышей игрока А является матрица А.

2) Известны вероятности q _i= p (П_j), j =1,…, n, состояний природы П_j, j =1,…, n, удовлетворяющие условию (1).Таким образом, игроку А надлежит принимать решение в условиях риска.

3) Пусть l =2,

(11)

· показатель эффективности стратегии А_i по критерию Вальда,

(12)

· показатель эффективности стратегии А_i по критерию Байеса.

Матрица В примет вид

В =

т.е. b_{i 1}= W_i, b_{i 2}= B_i, i =1,…, m.

4) Коэффициенты l₁, l₂ выбираются следующим образом:

l1=1-l, l2=l, где lÎ[0, 1].

(13)

Очевидно, что эти коэффициенты удовлетворяют условию (2).

5) По формуле (3), с учетом (11), (12), и (13), показатель эффективности стратегии А_i по критерию Ходжа-Лемана равен:

Gi=libi1 + l2bi2= (1 -l) Wi + lBi= (1- l) aij+l qiaji =1,…, m.	(14)

В правой части формулы (14) коэффициент l Î[0, 1] есть количественный показатель степени доверия игрока А данному распределению вероятностей q_i = p (П_j), j =1,…,n, состояний природы П_j, j =1,…, n, а коэффициент (1- l) характеризует количественно степень пессимизма игрока А. Чем больше доверия игрока А данному распределению вероятностей состояний природы, тем меньше пессимизма и наоборот.

6) Цену игры по критерию Ходжа-Лемана находим по формуле (4):

7) Оптимальной стратегией по критерию Ходжа-Лемана является стратегия А_k с наибольшим показателем эффективности:

G_k = G.

Отметим, что критерий Ходжа-Лемана является как-бы промежуточным критерием между критериями Байеса и Вальда. При l =1, из (14) имеем: G_i = B_i и потому критерий Ходжа-Лемана превращается в критерий Байеса. А при l =0, из (14): G_i = W_i и, следовательно, из критерия Ходжа-Лемана получаем критерий Вальда.

Пример.

Исходная матрица

	q=0,4 П1	q=0,3 П2	q=0,1 П3	q=0,2 П4
S1
S2

Далее используя формулы –

матрица выигрышей

матрица потерь

каждый элемент в столбце на соответствующий коэффициент q. Получим следующую таблицу:

 

Vi1*q1	Vi2*q2	Vi3*q3	Vi4*q4
2,4	0,9	0,8	0,5	4,6
1,6	0,9	1,2	0,5	4,2

Принимая =0,6

Получим итоговые данные, для выйгрыша выберем макс. Элемент, для потерь – мин.

 

HL(выйгрыш)	HL (потеря)
4,02	5,22
3,66	4,86

 

 

Получаем следующий ответ: S^*=S₁, V^*=4,02 - выигрыш

S^*=S₂, V^*=4,86 - потеря

42.Основные понятия и определения в теории неантагонистических (бескоалиционных) игр. Способы задания неантагонистической игры.

Некооперативная или бескоалиционная игра, это система Г= (a_ij,b_ij)=(H^a(A_i,B_j), H^b(A_i,B_j)), где A_i и B_j принадлежат Sa и Sb соответственно, а H^a и H^b функции выигрыша. Sa и Sb – множество стратегий игрока А и В Sa= {A1,A2, …, Am}, Sb = {B1,B2, …, Bn}.

Бескоалиционное поведение, когда соглашения между участниками запрещены правилами, а кооперативное поведение разрешается в форме выбора совместных стратегий.

Интересы игроков могут пересекаться, быть взаимовыгодными обоим игрокам, в то время как в антагонистическом конфликте это не представляется возможным.

Матрица выигрышей двух игроков в бескоалиционной игре имеет следующий вид S= S^axS^b:

А\В	B1	…	Bn
A1	(a11,b11)	…	(a1n,b1n)
…	…	…	…
Am	(am1,bm1)	…	(amn,bmn)

 

Неантагонистические игры, как и антагонистические, могут быть как конечные, так и бесконечные. Эта характеристика игры зависит от количества чистых стратегий игроков (S₁, S₂, …,S_k где k- количество игроков, конечны)

Способы задания игр:

· стратегическая(нормальная, матричная)

· позиционная форма(форма дерева)