Игры с природой. Показатель благоприятности состояния природы. Риск игрока, принимающего решение. Матрица рисков. Принятие решений в условиях риска и неопределённости.

Игра с природой – математическая модель принятия оптимальных решений в ситуации, когда одним из игроков является окружающий процесс принятия решения среда, называется «природой». При этом различают принятие решений в условиях риска и в условиях неопределённости.

В игре с природой действуют 2 игрока, причем только один из них действует осознанно. Этого игрока принято называть лицом принимающим решения(ЛПР). Иногда его называют статистиком, а теорию игр с природой – теорией статистических решений. Природа является вторым участником игры, не являющимся ни противником, ни союзником ЛПР, поскольку она не действует осознанно против или за ЛПР, т.е. является объективной действительностью безразличной к результату игры.

Описание игры с природой:

S_П={П₁, П₂, …,П_N } – множество состояний природы.

S_A = { S₁, S₂, …,S_M} – множество стратегий решающего игрока.

матрица V отличается от матрицы антагонистической игры тем, что элементы столбцов не являются проигрышами природы при соответствующих её состояниях.

При решении вопроса о выборе возможной стратегии в игре с природой игрок А должен исходить из матрицы выигрышей. Однако матрица выигрышей не всегда адекватно отражает имеющуюся ситуацию. На выбор стратегии должны влиять ещё и показатели «удачности» и «неудачности» выбора данной стратегии при данном состоянии природы и благоприятности этого состояния для увеличения выигрыша.

Показатель благоприятности состояния природы:

Матрица выигрыша: βj = max (vij)

1≤ i ≤ m

Матрица потерь: βj = min (vij)

1≤ i ≤ m

Показатель благоприятности состояния Пj природы П для увеличения выигрыша называется наибольший выигрыш при данном состоянии природы, т.е. наибольший элемент в j-м столбце матрицы игры. Т.о. благоприятность состояния природы рассматривается как фактор, благоприятствующий увеличению выигрыша игрока А при этом состоянии природы. Для матрицы потерь – наименьший результат.

Риском r_ij игрока А при выборе им стратегии А_i в условиях состояния П_jприроды П называется разность между показателем благоприятности состояния природы природы П_j и выигрышем v_ij, т.е. разность между выигрышем, который игрок А получил бы, если бы знал заранее, что природа примет состояние П_j, и выигрышем, который он получит при этом же состоянии П_j, выбрав стратегию А­_i: rij = .

Таким образом риск r_ij игрока А при применении им стратегии А_i есть упущенная им возможность максимального выигрыша при этом состоянии природы. Эта упущенная возможность определяется как невыигранная часть величины максимального выигрыша.

Т.е. Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой: не в виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков или матрицы упущенных возможностей.

rij = (ГДЕ верхняя строка – матрица выигрышей, нижняя – матрица потерь).

Принятие решений в условиях неопределенности:

Принятие решений в условиях неопределенности основано на том, что вероятности различных вариантов развития событий неизвестны. Принятие решений в условиях риска основано на том, что каждой ситуации развития событий может быть задана вероятность его осуществления.

Байес:

v_i0*=max{∑v_ijq_j},

v_i0*=min{∑v_ijq_j}

Критерий Лапласа относительно выигрышей (недостаточного основания):

v_i0*=max{1/n∑v_ij}

v_i0*=min{1/n∑v_ij}

Критерий Гермейера

v_i0*=max min{ ∑v_ijq_j}

v_i0*= min max{ ∑v_ijq_j}

Критерий Ходжа – Лемана

v_i0*=max{гамма*∑v_ijq_j+(1-гамма)*minv_ij},

v_i0*=min{гамма*∑v_ijq_j+(1-гамма)*maxv_ij},

в условиях неопределенности:

Гурвица

v_i0*=max{α*max v_ij+(1-α)*min v_ij},

v_i0*=min{α*min v_ij+(1-α)*max v_ij}

Вальда

v_i0*=max minv_ij

v_i0*=min maxv_ij

максимакс

v_i0*=max max v_ij

v_i0*=min minv_ij

Сэвиджа

r_i0*=min max r_ij