Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа.

Основные законы и формулы.

Для замкнутой электрической цепи, внешнее сопротивление которой равно R и внутреннее сопротивление источника r,сила тока I связана с ε - алгебраической суммой э.д.с., действующих в этой цепи выражением

I = / (R + r)

ПРАВИЛА КИРХГОФА:

1) (правило узлов) алгебраическая сумма токов, cходящихся в узле, равна нулю, .

2) (правило контуров) в любом замкнутом контуре выбранном в разветвлённой электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме действующих в нём э.д.с.

При этом также следует придерживаться правила знаков: токи, текущие вдоль выбран­ного направления обхода контура считаются положительными, а идущие против направле­ния обхода - отрицательными. Соответственно положительными считаются ЭДС тех источ­ников, которые вызывают ток, совпадающий по направлению с обходом контура, обозначенным.

 

Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца.

 

Если через однородный участок цепи, сопротивление которого равно R, протекает постоянный электрический ток I, в течение времени t, то работа А тока, совершаемая за счёт сторонних сил, будет равна

A=I²Rt=IUt=U²t/R=qU

где U –напряжение на участке цепи, q – заряд прошедший через участок цепи за время t.

Работа сторонних сил целиком расходуется на нагревание проводников, и количество энергии Q, выделяющейся в виде тепла, выражается законом Джоуля-Ленца

 

Q=A=I²Rt=IUt=U²t/R=qU

Мощность N электрического тока есть работа, совершаемая в единицу времени

N=A/t= I²R=IU=U²/R

Удельная тепловая мощность тока, которая в СИ измеряется в Вт/м³.

Q = j = .

Примеры решения задач

1. В схеме = 110 В, = 220 В, = = 100 Ом, = 500 Oм. Найти показание амперметра. Сопротивлением батарей и амперметра пренебречь.

Решение:

Число контуров в данной цепи равно 2 (максимальное число разрывов, которые нужно сделать, чтобы нарушить все контуры) и число узлов также равно 2. Следовательно, мы должны составить 2 уравнения для напряжений (2-е правило Кирхгофа) и 1 для токов (1-е правило Кирхгофа).

Выберем направления обхода контуров и направления токов так как показано на рисунке. Приходим к системе линейных уравнений:

.

Проведем решение данной системы Методом Крамера. Для этого составим соответствующую квадратную 3х3 матрицу и посчитаем её определитель:

Согласно формулам Крамера ток I ₁ будет равен: , где

,

.

2. Найти КПД источника тока с внутренним сопротивлением 0,1 Ом, если он работает на нагрузку с сопротивлением 1,5 Ом.

Д а н о: R =1,5 Ом, r =0,1 Ом. Н а й т и: h.

Решение. В системе, состоящей из источника тока и подсоединенного к нему резистора сопротивлением R, полезной является мощность, выделяемая на резисторе

P=I²R, (1)

где I – ток в системе. Затрачиваемой является мощность, развиваемая сторонними силами источника тока и определяемая формулой

, (2)

где e – ЭДС источника тока. Коэффициент полезного действия системы h есть отношение полезной мощности к затрачиваемой и в силу (1), (2) равен h=IR/e. Согласно закону Ома для замкнутой цепи e =I(R+r), поэтому коэффициент полезного действия системы запишется в виде .