Получение статистических оценок интенсивности отказов систем ЖАТ и интенсивности их восстановлений

 

Расчет статистических оценок средней интенсивности отказов и восстановлений осуществляется одинаково, разница заключается только в исходных данных. Для вычисления первого показателя используются строки об отказах таблицы 3.4, а для вычисления второго – о восстановлениях. Поэтому далее рассмотрим методику расчета применительно к статистической оценке средней интенсивности отказов.

Мгновенные значения интенсивности отказов системы ЖАТ могут быть найдены по формуле:

, (3.20)

где – количество отказов в таблице 3.4,

– количество эталонных объектов (ЭО) на рассматриваемом участке.

Результаты расчёта округляют до десятитысячных и сводят в таблицу, аналогичную таблице 3.5.

Таблица 3.5

Мгновенные интенсивности отказов и интенсивности восстановлений системы ЖАТ за расчетный период

№ п/п	Обозначение	Значение, 1/ч
1.		0,0015
2.		0,2151
…		…

 

Далее следует построить вариационный ряд. Для этого:

– наблюдаемые значения соответствующих параметров (), называемые вариантами, записываются в возрастающем порядке;

– диапазон изменения величины разделяется на интервалов;

– находят длины подынтервалов:

, (3.21)

– устанавливают границы подынтервалов:

. (3.22)

– далее осуществляют группировку значений параметра из таблицы 3.5 в пределах полученных интервалов и вычисляется количество значений выборки попадающих в q -ый интервал, а также относительная частота:

, (3.23)

– полученный вариационный ряд представляют в виде таблицы 3.6.

 

Таблица 3.6

Вариационный ряд

Интервал			…
Частота			…
Относительная частота			…

 

На основе вариационного ряда строится гистограмма распределения случайной величины, представляющая собой эмпирическую функцию плотности распределения вероятности. В ней по горизонтальной оси последовательно, по мере их возрастания, откладываются интервалы изменения экспериментальных значений, на каждом из которых, строится прямоугольник высоты .

Пример эмпирической плотности распределения вероятности для распределения , близкого к нормальному (гауссовскому), представлен на рисунке 3.3.

Рис. 3.3. Эмпирическая плотность распределения вероятности

 

На основании визуального анализ гистограммы подбирается теоретическая функция плотности распределения график которой схож с гистограммой. Такая функция будет использована для «сглаживания» гистограммы. Чаще всего в качестве такой функции выбирается один из известных законов: нормальный, экспоненциальный, Вейбулла и т.п.

Неизвестные параметры теоретического «сглаживающего» распределения в соответствии с (3.10) полагают равными значениям статистических оценок числовых характеристик.

При использовании вариационного ряда оценка математического ожидания есть выборочная средняя:

, (3.24)

где – представляет собой значение параметра, соответствующее середине q -го интервала:

, (3.25)

где – значение, соответствующее левой границе подынтервала.

В качестве оценки второго момента используется выборочная дисперсия, вычисляемая по формуле:

. (3.26)

Вместе с тем выборочная дисперсия, в отличие от выборочной средней является смещенной оценкой, поэтому используется поправка:

. (3.27)

Помимо дисперсии часто используют связанную с ней величину, называемую «исправленным» средним квадратическим отклонением:

. (34.28)

Подстановкой вычисленных параметров в формулу «сглаживающей» вероятностной функции можно конкретизировать распределение. Пример, для случая использования в качестве сглаживающего нормального (гауссовского) распределения представлен на рисунке 3.4.

Рис. 3.4. Эмпирическая и теоретическая плотность распределения вероятности

В случае, если параметры не есть непосредственно моменты случайной величины, то они определяются через и .

Примеры наиболее распространенных теоретических распределений, с основными характеристиками, а также их графические изображения представлены в таблице 3.7.

Таблица 3.7

Типовые вероятностные распределения

Формула плотности вероятности	График плотности вероятности	Числовые параметры распределения
Нормальный закон распределения
		Математическое ожидание: Дисперсия: Определяются непосредственно

 

Продолжение таблицы 3.7

Закон равномерной плотности
		Математическое ожидание и дисперсия определяются через значения левой границы интервала а и правой – b:
Экспоненциальный закон распределения
		Математическое ожидание и дисперсия выражаются через интенсивность :

 

Далее обязательно должна осуществляется проверка состоятельности гипотезы о характере использованного для сглаживания эмпирических данных теоретического распределения .