Определение переходной функции цепи h(t)

Переходной функции цепи называется реакция на воздействие в виде единичной ступенчатой функции. Для ее определения необходимо проанализировать переходной процесс при подключении цепи к источнику постоянной ЭДС, равной 1В, при нулевых начальных условиях(рис.7).

Рис.7. Схема электрической цепи с источником ЭДС

Классический метод

Классический метод предполагает представление искомой величины (в данном случае выходного напряжения) в виде суммы установившейся и свободной составляющей [2]:

Так как необходимое напряжение нужно рассчитать на 2-ух элементах (сопротивления и индуктивности , то для расчета нужно взять ток на индуктивности и умножить на сопротивление :

 

Расчет установившейся составляющей

В установившемся режиме постоянная ЭДС может вызвать только постоянные токи в цепи. Постоянный ток через емкость протекать не будет, а индуктивность представляет собой для постоянного тока короткое замыкание [2]. Поэтому ток в третьей ветви будет равеннулю , как и напряжение на индуктивности :

Определение общего вида свободной составляющей

C численными значениями:

1/с

1/с

Комплексно-сопряженные корни говорят о том, что переходный процесс является апериодическим, и свободная составляющая имеет вид:

,

Где и -постоянные интегрирования, которые должны быть определены из начальных условий.

Общий вид результата как суммы двух составляющих:

Определение начальных условий

Для вычисления постоянных интегрирования необходимо знать начальное значение искомой величины и начальное значение ее производной[2].

По 1-ому закону коммутации ток в катушке индуктивности не может измениться мгновенно, до подключения ЭДСон равен нулю. Следовательно,

Так же по 2-ому закону коммутации напряжение на конденсаторе не может измениться мгновенно. До подключения ЭДС оно было равно нулю, следовательно, и в первый момент после подключения останется равным нулю:

В соответствии с законами Кирхгофа составляем систему уравнений:

Подставив получаем:

 

Вычисляем постоянные интегрирования

Составляем систему уравнений для тока на катушке

При t=0:

Вычислим и :

Так как по 1-ому закону коммутации ток в индуктивности не может измениться мгновенно, то при t=0 он равен нулю, выразив через ранее составленные уравнения Кирхгофа, составим уравнения для нахождения и :

Из первого уравнения выражаем :

И, подставляя во второе, находим :

Окончательный результат:

Постоянные времени цепи:

При апериодическом процессе берется максимальная из постоянных времени двух экспонент т.е. . [1]

Операторный метод

Действия операторным методом при нулевых начальных условиях в значительной мере подобны действиям при анализе символическим методом цепей синусоидального тока при замене в выражениях сопротивлений комбинации «jω» на букву «p» [2]. Поэтому можем воспользоваться полученным выражением для комплексной частотной характеристики, записав на месте «jω» букву «p». Таким образом, мы найдем то, что называется передаточной функцией:

С помощью этой функции легко можно записать операторное выходное напряжение при заданном операторном входном напряжении:

В нашем случае на входе действует постоянная ЭДС, равная 1В. Ее операторным изображением является 1/p. Значит операторным изображением переходной функции h(t) будет:

 

Остается найти оригинал по формуле разложения:

-корни многочлена

;

Подставляем в формулу разложения:

В последнем уравнении константы и не сходятся с раннее рассчитанными константами, найденные классическим методом расчета, это свидетельствует о том, что допущена ошибка в составлении уравнений для расчета свободной составляющей тока, либо имеется ошибка в математических расчетах операторного метода.

График переходной функции изображен на рис.8.

Рис.8. График переходной функции