Механические приложения определенного интеграла

 

Пусть имеется материальная точка массой . Зададим ось .

Моментом инерции точки относительно оси называется произведение её массы на квадрат расстояния до оси:

(рис. 52).

Статическим моментом точки относительно оси называется произведение её массы на расстояние от точки до оси, взятое с каким-либо знаком:

или

в зависимости от договорённости, с какой стороны оси материальным точкам приписывается положительный статический момент, а с какой – отрицательный.

Пусть задана система, состоящая из конечного числа материальных точек с массами , отстоящих от оси на расстоянии . Тогда

,

а

, (67)

причём в формуле (67) для точек, расположенных по разные стороны от оси , выбираются разные знаки.

Пусть теперь масса сплошным образом распределена по плоской пластине. Тогда вместо сумм рассматривают интегралы. Будем считать, что масса распределена по плоской фигуре равномерно. Для простоты считаем плотность распределения массы равной единице. Тогда масса любой части фигуры равна её площади.

Рассмотрим две показательные задачи.

1. Найти статический момент и момент инерции прямоугольника с основанием и высотой относительно его основания (рис. 53).

 

Выделим внутри прямоугольника полоску высотой и шириной . Расстояние этой полоски до оси равно , . Масса выделенного элемента равна его площади . Вычислим статический момент и момент инерции выделенного элемента относительно оси :

,

.

Тогда

, (68)

. (69)

2. Найти статические моменты , и моменты инерции , криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , относительно координатных осей.

А. Ищем моменты относительно оси (рис. 54). Выделим внутри трапеции криволинейную полоску, опирающуюся на отрезок . Будем вычислять бесконечно малые элементы моментов по формулам (68), (69) как моменты прямоугольной полоски с основанием и переменной высотой . Тогда

, (70)

. (71)

В формулах (70), (71) мы, пренебрегая бесконечно малыми величинами более высокого порядка малости, чем dx, отождествили криволинейную полоску с прямоугольником высоты . Проинтегрируем полученные равенства при изменении от до и получим

, (72)

. (73)

 

Б. Ищем статический момент и момент инерции относительно оси (рис. 55). Выделим внутри трапеции ту же полоску, что и в п. А. За бесконечно малый элемент массы этой полоски примем массу прямоугольника с основанием и высотой . В силу сделанного ранее предположения масса этого прямоугольника равна его площади. Расстояние любой точки этого прямоугольника до оси равно . Тогда

 

, (74)

. (75)

Интегрируем равенства (74), (75) при изменении переменной от до и получим

, (76)

. (77)

Знание статических моментов плоской фигуры относительно координатных осей позволяет определить координаты центра тяжести этой фигуры.

Известно, что величина статических моментов не изменится, если предположить, что вся масса фигуры сосредоточена в центре тяжести этой фигуры.

Пусть – центр тяжести фигуры массой , а , – её статические моменты относительно координатных осей. Тогда

откуда

(78)