Волновое уравнение для электромагнитных волн

Факт получения волнового уравнения из уравнений Максвелла означает само существование электромагнитных волн.

Для однородной нейтральной () и непроводящей () среды при постоянных и запишем:

 

, ,

 

, .

С учетом этих выражений перепишем уравнения Максвелла в дифференциальном виде следующим образом:

, (3)

, (4)

, (5)

. (6)

 

Возьмем ротор от обеих частей уравнения (3):

 

. (7)

В правой части поменяем местами последовательности дифференцирования:

 

.

Подставим в (7) и используем (5):

 

. (8)

Преобразуем левую часть: . Первое слагаемое =0 (см.(6)), а . Тогда

 

.

или

. (9)

 

. (9^/ )

Аналогично для :

. (10)

Уравнения (7) и (8) указывают, сто электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн с фазовой скоростью .

21 Плотность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей для электрического и магнитного полей (при отсутствии сегнетоэлектриков и ферромагнетиков):

. (11)

Учитывая (2), получим, что для каждого момента времени, тогда

.Пойнтинг ввел понятие вектора плотности потока энергии:

(12)

Поток Ф электромагнитной энергии равен

.

Давление и импульс

Давление электромагнитной волны на тело, на которое она падает возникает в результате воздействия магнитного поля волны на электрические токи, возбуждаемые электрическим полей той же волны.

Пусть электромагнитная волна падает на поглощающее тело (среду), т.е. в нем возникает джоулево тепло с объемной плотностью σЕ², т.е. и поглощающая среда обладает проводимостью. В такой среде электрическое поле волны возбуждает электрический ток с плотностью . Тогда на единицу объема среды действует амперова сила в направлении волны. Эта сила и вызывает давление электромагнитной волны. Если нет поглощения, σ = 0 и давления нет. При полном отражении волны давление возрастает вдвое.

Давление равно: (13)

Плотность импульса равна , что аналогично выражению для импульса фотона.

Энергией эл/магн – сумма эл и магн полей

Объемная плотность энергии эл/магн поля:

- вектор Умова- Пойтинга. Он направлен в сторону распространения эл/магн волны, а его модуль равен энергии, переносимой эл/магн волной за единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярно направлению распространению волны.

 

22 Электрический диполь - система из двух равных по величине, но противоположных по знаку, зарядов, разделенных некоторым расстоянием .

Если он колеблется, то излучает электромагнитные волны.

Изменение его момента со временем:

. (14)

Рассмотрим элементарный диполь. Для него . В волновой зоне .

Для сферической волны

E_m ~ H_m ~ .

Следовательно, интенсивность волны

~

обратно пропорциональна квадрату расстояния от излучателя и зависит от угла θ. Диаграмма излучения диполя имеет вид (рис.3).

Рис.2

Рис. 3

Мощность излучения N ~ . Из (14) . Тогда

N ~ . (15)

Усредним по времени

~ . (16)

Из (14):

,

где а – ускорение колеблющегося заряда.

Тогда мощность

N ~ q² a².

 

Интерференция световых волн

Пусть в одном направлении распространяются 2 световые волны:

 

и

Тогда

,

где .

Если , то волны являются когерентными. Когерентными называются волны, у которых и постоянна во времени разность фаз.

Для некогерентных волн δ непрерывно изменяется и ее среднее по времени значение = 0, поэтому

или .

 

Для когерентных волн

. (1)

Явление перераспределения светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы интенсивности, а в других - минимумы, называется интерференцией.

Пример: Пусть . Из (1) следует: . Все естественные источники света некогерентны. Объяснение: Излучение тел состоит из волн, испускаемых многими атомами. Каждый атом излучает цуг волн продолжительностью с и протяженностью = 3 (м). Через τ излучение одной группы атомов сменяется излучением другой группы. Фазы разных цугов даже от одних атомов между собой не связаны, т.е. меняются случайным образом, так что при усреднении .

Как же в таком случае можно вообще наблюдать интерференцию? Проблема решается просто! Нужно путем отражений или преломлений разделить одну волны на 2 или более волн, которые после прохождения разных оптических длин путей следует вновь наложить друг на друга. Тогда наблюдается интерференция.

Разделим в т.О (рис.2) волну на две когерентные. В т.О фаза равна ,

в т. Р фаза 1-й волны: , a

2-й волны: . Тогда разность фаз двух колебаний в точке наблюдения Р будет равна:

.

Рис. 2 Заменим на , тогда получим:

, (2)

где

(3) - оптическая разность хода.

Если

, (4)

 

где , то δ является кратной 2π и колебания, возбуждаемые в т.Р обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой и усиливают друг друга, т.е. (4) выражает условие максимума..

Условие минимума:

(5)

при , т.е. на разности хода укладывается нечетное число полуволн в вакууме и колебания в т.Р обеих волн находятся в противофазе.

Под когерентностью подразумевается согласованное протекание колебательных или волновых процессов. При этом степень согласованности может быть различной.

Различают временную и пространственную когерентность.

Временная когерентность определяется разбросом частот Δω или разбросом значений модуля волнового вектора k, так как

.

Пространственная же связана с разбросом направлений вектора .

При рассмотрении временной когерентности большую роль играет время срабатывания прибора t_приб. Если за t_приб cosδ принимает все значения от -1 до +1, то ; если за t_приб , то прибор фиксирует интерференцию и волны когерентны. Вывод: Когерентность – понятие относительное. Волны, когерентные при наблюдении прибором с малым t_приб, могут быть некогерентными при приборе с большим t_приб.

Для характеристики когерентных свойств волн вводится понятие времени когерентности . Это – время, за которое изменение фазы волны достигает значения ~π. Теперь можно ввести

критерий когерентности: t_приб «. (6)

Длина когерентности(длина цуга) - . (7)

Это – расстояние, на котором изменение фазы волны достигает значения ~π.

Для получения интерференционной картины путем деления световой волны на две необходимо, чтобы . Это требование ограничивает наблюдаемое число интерференционных полос. Расчеты дают следующие соотношения:

~ ~ . (8)

~ . (9)

При рассмотрении пространственной когерентности критерий записывается в виде:

, (10)

где φ - угловой размер источника, d – его линейный размер.

При смещении вдоль волновой поверхности, излучаемой источником, расстояние, на котором фаза меняется не более чем на π, называется длиной пространственной когерентности или радиусом когерентности:

~ . (11)

Для солнечных лучей (φ ~ 0,01 рад, λ ~ 0,5 мкм. Тогда = 0,05 мм.