Построение статистического ряда

Находим размах выборки:

r = х _max- x _min=8,32-1,58=6,74.

Находим количество разрядов (интервалов) q= √45≈7, длину интервала делаем одинаковой:

l _i = r/q = 6,74/7 =0,962.

Выделяем представителей разрядов и подсчитываем число элементов выборки n _j, попавших в j -й разряд (интервал). Рассчитываем относительную частоту попадания элементов в разряды, т. е. относительные частоты разрядов p _j^* статистического ряда:

p _j^* = n _j / n, (j = ).

На основе относительных частот рассчитываем плотность относительной частоты для каждого разряда по формуле:

= , (j = ),

здесь – длина j -го разряда.

Результаты расчетов, приведенные в приложении 3 «Статистический ряд», сводим в таблицу 3.

Статистический ряд

Таблица 3

Номер интервала
Границы интервалов	1,58;2,542	2,542;3,504	3,504;4,466	4,466;5,428	5,428;6,39	6,39;7,352	7,352;8,314
Длина интервала	0,962	0,962	0,962	0,962	0,962	0,962	0,962
Частота интервала
Относительная частота интервалов	0,25	0,204545	0,159091	0,181818	0,090909	0,045455	0,068182
Плотность относительной частоты =	0,259875	0,212625	0,165375	0,189	0,0945	0,04725	0,070875
Середина интервала	2,061	3,023	3,985	4,947	5,909	6,871	7,833

Построение статистических оценок функции распределения

Статистическая функция распределения

Статистическая функция распределения F *(x) рассчитывается по формуле:

F *(x) =

где - число вариантов вариационного ряда (значений с учетом кратности, т.е. количества повторений), расположенных левее x (включая точку x), n – объем выборки.

Строим график оценки функции распределения, который представлен на рис.1.

Рис.1. Статистическая функция распределения

Данные для построения статистической функции распределения приведены в приложении 4 (Критерий Колмогорова).

 

 

Кумулятивная ломаная

Кумулятивную ломаную (вторую оценку функции распределения) строим по формулам:

F** (x ) = 0,

F** (x ) = p ,

F** (x ) = p + p ,

……………………

F** (x ) = p + p + … + p ,

где = 1.

Результаты расчетов для построения кумулятивной ломаной из таблицы приложения 2 занесем в табл.4.

 

Таблица 4

Номер интервала
Границы интервалов	1,58;2,542	2,542; 3,504	3,504; 4,466	4,466; 5,428	5,428; 6,39	6,39; 7,352	7,352; 8,314
Относительная частота интервалов	0,25	0,204545	0,159091	0,181818	0,090909	0,045455	0,068182
F **(x)	0,25	0,454545	0,613636	0,795455	0,886364	0,931818

 

График кумулятивной ломаной представлен на рис.2.

Рис.2.Кумулятивная ломаная

Статистические оценки плотности распределения

Гистограмма

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиною , а высота равна отношению = (плотность относительной частоты). Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Учитывая свойство плотности распределения можно записать:

P (x ^j-1 X < x ^j) = f ( _j)* l _j, (j =0, q), где l _j – длина j -го интервала, f ( _j)- средняя на интервале l _j плотность распределения f (x).

Заменяя P (x ^j X < x ^j+1) частотой p ^*_j статистического ряда, получим следующее выражение для приближенного значения f ^*_j плотности распределения на разряде I _j:

f ^*_j= p ^*_j/ l _j, j =1, q.

Таким образом, гистограмма относительных частот строится следующим образом: на оси Оx отложим длины разрядов и на них, как на основаниях, построим прямоугольники, имеющие площадь p ^*_j и высоту равную f ^*_j (см. рис.3).

Используем данные из табл. 3. “Статистический ряд” для построения оценок плотности распределения f (x).

Первый способ построения гистограммы: на основе относительных частот. Для построения статистических оценок плотности распределения используем таблицу статистического ряда (табл. 3).

Рис.3.Оценка плотности распределения, построенная по относительным частотам

Существует еще один способ построения гистограммы. Аналогично первому способу отложим на оси ОХ разряды (границы интервалов) из таблицы статистического ряда и на каждом i -ом интервале построим прямоугольник высотой y_i: y_i=n_j. Данная гистограмма приведена на рис.4.

Рис.4. Оценка плотности распределения, построенная по частотам n_j.

Данные для построения плотности распределения приведены в Приложении 2 (Интервальная таблица).

Полигон частот

Построим полигон частот – вторую оценку плотности распределения f (x). Полигон относительных частот строится по точкам (, ), j = (рис. 5)

Рис.5. Полигон относительных частот

Полигон частот строим по точкам, координаты которых равны (, n _j), j = (см. рис. 6).

Рис.6. Полигон частот

Критерий согласия χ² Пирсона

 

В качестве оценок параметров нормального закона примем точечные оценки для математического ожидания и дисперсии:

=4,205, =3,244.

Алгоритм проверки гипотезы:

1. Провести измерения X и получить выборку x ⁿ;

2. Построить вариационный ряд;

3. Исключить грубые ошибки;

4. Определить число интервалов ;

5. Определить границы интервалов;

6. Определить количество элементов попадающих в интервал;

7. Задать гипотезу о плотности распределения f₀ (x);

8.Определить вероятность попадания случайной величины в полуинтервал

(x^j-1_; x^j), равную p_j: _j,

где - середина l _j,

l _j– длина интервала.

9.Рассчитать значение реализации статистики проверки гипотезы:

, где q –количество интервалов;

10.Задать уровень значимости α;

11.С помощью таблиц распределения Пирсона, по входам α и k = q - r -1 определить , здесь r – количество параметров предполагаемого закона распределения;

12.Принять или отклонить гипотезу по правилу:

если < , гипотеза принимается

если > , гипотеза отклоняется

 

Расчет значения функции f ₀(x) будем проводить по формуле:

, используя при этом встроенную функцию MS Excel НОРМРАСП, параметры которой соответственно равны значению , точечной оценке математического ожидания , точечной оценке среднеквадратического отклонения , четвертый параметр равен 0, что соответствует возвращению функцией значения плотности распределения нормального закона распределения.

Зададим вероятность, а =0,01 практически невозможного события, заключающегося в том, что сумма относительных отклонений оценки плотности распределения от значения функции плотности распределения, принятой в качестве гипотезы, не превзойдет значения . Если выполняется условие: < , то гипотеза принимается.

Значение параметра , возьмем из таблицы распределения ² Пирсона, исходя из значений вероятности a и числа степеней свободы k = q-r -1, где r- количество параметров предполагаемого закона распределения.

После расчета реализации статистики проверки статистической гипотезы о нормальном распределении (наблюдаемого значения критерия), получили _набл=17,781, которое превышает значение параметра =13,2767. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении случайной выборки не принимается.

Результаты расчетов приведены в Приложении 5.