Нахождение точек пересечения функции с координатными осями

Найдём пересечение с осью y = 0

Так как имеет только комплексные корни, получаем

Следовательно, функция пересекает ось Ox в точке

 

Найдём пересечение с осью x = 0

Следовательно, функция пересекает ось Oy в точке

 

 

Нахождение промежутков знака функции

Рассмотрим промежуток

При

 

Исследование поведения функции на границах области определения.

При приближении к 0±

 

При приближении к

 

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств

и соответственно.

=

Находим нули числителя:

Находим нули знаменателя:

, x

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка.

0 +

 

Следовательно, функция возрастает
на промежутке(0; ] [ ; + и убывает на промежутке[ ; ].

 

Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решении неравенств

и соответственно.

Находим нули числителя:

Находим нули знаменателя:

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак двойной производной внутри каждого полученного промежутка.

+

Следовательно, функция выпукла на промежутке

(0; ]и вогнута на промежутке [ ; +∞), при этом точка, соответствующая
x = , является точкой перегиба функции.

Нахождение асимптот функции

У функции отсутствуют вертикальные асимптоты.

Найдем наклонную асимптоту .

…

Воспользуемся правилом Лопиталя и найдем производные числителя и знаменателя.

.

Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот у данной функции не существует.

 

Построение графика функции.

Вручную:

С помощью компьютера:

 

Описание второй задачи

Фигура, ограниченная линиями вращается вокруг оси Ox. Найти объём тела вращения.Проверить ответ на компьютере.

 

Анализ функций и построение фигуры, образующей тело вращения

Для удобства функцию

В первую очередь убедимся в том, что представленные функции определены и непрерывны на ℝ. Это следует из того, что любая степенная функция с натуральным показателем определена на всей числовой оси, а любая элементарная функция непрерывна на области своего определения. Затем построим графики и найдём точки пересечения функций.

 

,

 

Таким образом, для поиска объема данного тела вращения нам потребуются найти интеграл с границами интегрирования и .

Нахождение объёма тела вращения

Так как фигура вращается вокруг оси Ox, для упрощения дальнейших вычислений перепишем кривые, ограничивающие фигуру, в виде

Находим объём тела вращения как разницу объёмов тел вращения фигур, первая из которых ограничена графиком и осью Ox, а вторая графиком и осью Ox с помощью формулы

,

 

 

Проверка результатов расчётов на компьютере

 

 

 

Для проверки использовался сайтWolframAlpha.com