Отличительные черты задач устойчивости стержней, пластин и оболочек

Отличительные черты задач устойчивости стержней, пластин и оболочек

Основные уравнения для круговых цилиндрических оболочек

Рассмотрим упрощенный вариант линейной теории, когда выпучивание сопровождается появлением мелких волн, размеры которых хотя бы в одном направлении малы по сравнению с размерами оболочки. В результате оболочку в пределах выпучины можно рассматривать как пологую. Например, в осесимметричном случае число выпучин вдоль окружности должно быть n≥4. Это условие выполняется для оболочек средней длины. По Даревскому В.М:

или

- деформации

- кривизны

- уравнение совместности деформаций

- уравнения равновесия на оси х,y и нормаль

- уравнения моментов

- обобщенный закон Гука

где

где

Подставим перерезывающие силы в 3-ье уравнение равновесия:

где

Подставим деформации в уравнение совместности:

Введем функцию напряжений срединной поверхности Ф:

В результате получим:

(*)

Подставим вместо qфиктивную поперечную нагрузкуq0, равную сумме дополнительных проекций основных усилий p_x, p_y иs на направление нормали (усилие p_x – действует вдоль оси х, усилие p_y – вдоль касательной к оси y иусилие s - касательные)

В результате получим:

Применим оператор , а к (*) оператор , в результате получим одно уравнение:

Вариант уравнений линейной теории оболочек для случая слабовыраженного волнообразования по длине оболочки. В этом случае срединную поверхность считают нерастяжимой в дуговом направлении ; отсутствуют сдвиги в срединной поверхности . Равны нулю также . Отличны от нуля лишь . В результате получим:

Отсюда

- уравнение совместности деформаций

Уравнения равновесия примут вид

Где - внешняя нагрузка вдоль оси х, касательной к линии y и к оси z

Объединяя их получим

Закон Гука примет вид

Вводя переменные и пользуясь оператором получим

где

Исключая и пользуясь уравнением после исключения оператора получим:

Этим уравнением пользуются для исследования оболочек средней и особенно большой длины в случае слабовыраженного волнообразования по длине оболочки. Линейная теория дает возможность исследовать устойчивость оболочки в малом. Полное решение задачи, включающее исследование потери устойчивости в большом, может быть дано с позиций нелинейной теории.

Оболочка большого прогиба.

- уравнение совместности деформаций, где

Изменение кривизн, кручение, выражения для поперечных сил, закон Гука - прежние.

Третье уравнение равновесия примет вид:

В результате получим:

Где

Оболочка с начальными прогибами

где - полный прогиб

Граничные условия:А) шарнирное опирание

Б) жесткая заделка (защемление)

В) края оболочки свободно смещаются вдоль образующей и по дуге

Г) несмещающиеся кромки

Нелинейная задача

Второй – отражает несимметричность прогиба относительно срединной поверхности с преимущественным направлением к центру кривизны; третий – соответствует радиальным перемещениям точек, принадлежащих торцевым сечениям х=0,L.

 

Случай внешнего давления

Из уравнения равновесия получаем Обозначим Примем Минимизируяqпо n, получим: Окружное напряжение равно

 

Устойчивость при изгибе

Распределение нормальных напряжений в поперечных сечениях Деформации в срединной поверхности равны После подстановки приравниваем коэффициенты при однородных членах, тогда приходим к трехчленным уравнениям относительно fn: Здесь учитывалось, что Ограничившись определенным числом параметров fn и вычислив определитель, то можно определить критическую нагрузку р0.

 

Коническая оболочка

Осевое сжатие конической оболочки   Считаем, что при потере устойчивости образуется большое число волн, длина которых невелика, поэтому s можно считать постоянной Решение ищем в виде (l1 – расстояние вдоль образующей от вершины до большего основания, лямбда – длина волны) Приравниваем нулю определитель системы и учитывая обозначение получим Минимизируем N по квадрату β, получим где R0 – радиус кривизны срединной поверхности у большего основания Внешнее давление конической оболочки Внешнее давление усеченной конической оболочки (гр. условия – большее основание шарнирное опирание, меньшее – жесткая заделка)

 

Сферическая оболочка

Сжимающие усилия и напряжения примем Примем, что где лямбда – неопределенный параметр (Власов) Минимизируя сигма по квадрату лямбда

 

Эллипсоидальные оболочки

Вытянутая оболочка

Сплющенная оболочка под внутренним давлением

 

Пологие оболочки

	Уравнения для оболочки, имеющей начальные отклонения от идеальной формы   Уравнения для пластинки с начальной погибью () Оба подхода эквивалентны
	Панель прямоугольная в плане Аналогично для y=0 и b Введем безразмерные параметры Для квадратной панели

 

Сферическая панель

 

Отличительные черты задач устойчивости стержней, пластин и оболочек