Плотность распределения непрерывной величины, ее свойства.

Плотностью распределения вероятностей (или дифференциальной функцией распределения) непрерывной случайной величины Х называется функция f(x), задаваемая равенством f(x)=F’(x), .

График функции f(x) называется кривой распределения величины Х.

Свойства:

1) ;

2) ;

3) Теорема о вероятности попадания в заданный интервал.

Х – непрерывная случайная величина, f(x) – плотность распределения,

4) условие нормировки;

5) геометрически вероятность попадания случайной величины Х в промежуток (a;b) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми x=a, x=b.

6) Если все значения случайной величины Х заключены в промежутке (a₁;a₂), то

12. Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием mx.

Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от её математического ожидания. Центрирование случайной величины равносильно переносу начала координат в точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Мат ожид приближенно = среднему знач случ величины. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

M(Х)=интеграл от i=1 до бескон хipi

Если дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а,Ь], называют определенный интеграл

ь М(Х)=интегрxf(x)dx

а

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то

 

M(X)=интегр от – беск до +беск xf (x)dx.

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой
постоянной.

М(С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания. М(СХ)=СМ(Х).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий.

X xi x₂ Y yi у₂

Р Pi Рг g gi g₂

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY

XY xiy, х,у₂ x₂yi х₂у₂

^Р Plgl Plg2 P2gl P2g2

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных

значений на их вероятности:

M(XY) = Xiyip^i + x₂yip₂qi + X!y₂piq₂ + х₂у₂р_2Ч2 = - yi4i(xiPi + х₂р₂) + УгчгСхф! + хгр₂) = (x,pi + x₂p₂)(yiq, + y₂q₂) = = M(X) + M(Y).

 

Мат ожид суммы двух случ величин = сумме мат ожид слагаемых. М(Х+Y)=М(Х)+М(Y)

 

 

13. Дисперсия случайной величины, ее свойства. Среднеквадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайно величины Х от ее математического ожидания: D(X)=M(X-M(X))².

Свойства: 1) D[C]=0, где C=const.дисп пост вел С =0

2) D[CX]=C в квадрате на D[X]-постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии,возведя его в квадрат

3) X,Y независимы, D[X+(-)Y]=D[X]+D[Y]

4) D[X+C]=D[X]

Для оценки рассеяния возможных значений случ вел вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики.к их числу относят и среднекв отклон.

Среднеквадратическим отклонение случайной величины Х называется число, вычисляемое по формуле

Легко показать,что дисперсия имеет размерность,равную квадрату размерности случ аеличины.Т.к. среднекв отклон = квадратному корню из дисперсии,то размерность сигма(Х) совпадает с размерностью Х.Поэтому в тех случаях,когда желательно,чтобы оценка рассеяния имела размерность случ велич,вычисляют среднекв отклон,а не дисперсию.

Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины

Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

-м нача́льным моментом случайной величины где называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;

-м центра́льным моментом случайной величины называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено. Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например: