Для того, чтобы средняя величина была действительно типичной для изучаемой совокупности и давала количественную характеристику признака, ее необходимо исчислять с учетом ряда условий.

Условия правильного применения средней величины:

· средняя величина должна исчисляться лишь для совокупностей, состоящих из однородных единиц;

· совокупность неоднородную в качественном отношении, необходимо разделять на однородные группы и вычислять для них групповые, типичные средние, характеризующие каждую из этих групп. В этом проявляется связь между методами группировок и средних величин;

· средняя величина сглаживает индивидуальные значения и тем самым может элиминировать различные тенденции в развитии, скрыть передовое и отстающее. Поэтому кроме средней величины, следует исчислять другие показатели;

· среднюю величину целесообразно исчислять не для отдельных единичных фактов, взятых изолированно друг от друга, а для совокупности фактов.

Средние величины делятся на две основные категории в зависимости от поставленной цели исследования, вида и взаимосвязи изучаемых признаков.

Виды средних величин:

Степенные

а) Арифметическая;

б) Гармоническая;

в) Геометрическая;

г) Квадратическая;

д) Кубическая;

е) Биквадратическая.

Структурные

а) Мода;

б) Медиана;

в) Децили;

г) Квартили;

д) Перцентили;

е) Квинтили.

Элементы степенной средней:

· Варианта (Х) - признак, для которого исчисляется средняя величина является варьирующим, осредняемым. Единицы варьирующего признака, принимающие определённое числовое выражение, есть варианта;

· Число единиц (n) - количество вариант в исследуемой совокупности;

· Веса, частоты (f) - показатели повторяемости вариант в исследуемой совокупности.

 

Средняя степенная простая

,

где К – показатель степени.

Применяется в случае, если каждая варианта Х встречается в совокупности один или одинаковое число раз.

Средняя степенная взвешенная

,

где f_i - показатель повторяемости вариант (веса, частоты).

Применяется в случае, если каждая варианта Х встречается в совокупности не одинаковое число раз, то есть по сгруппированным данным.

Виды степенных средних

Средняя гармоническая

К= - 1

или

Средняя гармоническая применяется в случае, если известны варьирующие обратные значения признака.

Средняя геометрическая

К=0

, где

- знак умножения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

Средняя арифметическая

К=1

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объём варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака отдельных её единиц.

Средняя квадратическая

К=2

Средняя кубическая

К=3

Средняя биквадратическая

К=4

и другие.

 

Для одной и той же совокупности имеют место строго определённые соотношения между различными видами средних. Эти соотношения называют правилом мажорантностисредних:

При исчислении средней величины в вариационном ряду с равными интервалами часто используют «способ моментов».

;

 

m₁- величина момента первого порядка;

i - величина интервала;

А – центральная варианта ряда (условный 0

Наиболее распространённым видом средних величин является средняя арифметическая, которая обладает рядом математических свойств. Они более полно раскрывают ее сущность и в ряде случаев используются для упрощения ее расчетов.