Теорема об изменении количества движения материальной системы.

– количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы. – элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке (теорема в дифференц-ной форме) или – производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. Проинтегрируем: – изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке, за тот же промежуток времени. – импульс силы за промежуток времени [0,t]. В проекциях на оси координат: и т.д.

Теорема Эйлера.

Найдём число координат, определяющих положение абсолютно твёрдого тела. Определить положение тела => определить координаты точки относительно некоторой системы отсчёта в момент времени. Пусть Х1, Х2, Х3 – неподвижные оси (рис. 38); орты: [декартова система].

, , , - оси, жёстко связанные с телом; орты: , , - [декартова система]. Так как координаты точек относительно собственных осей , , не зависят от времени, то задача сводится к определению положения координатных осей, жёстко связанных с телом (подвижных), относительно неподвижных осей Х1, Х2, Х3. Составим таблицу косинусов углов между осями Х и :

- скалярное произведение. Так как системы координат ортогональны, то скалярное произведение: , где Итак: . Число таких соотношений = 6 (Из 9 – ти в силу симметрии по jи k). Имеем 6 соотношений для 9 косинусов => 3 косинуса , не расположенные в одном столбце, или в одной строке, могут быть приняты за независимые, а остальные можем определить из составленных 6 – ти соотношений.

Кроме того => три координаты определяют положение точки О’ – начало системы , , .

Но 9 координат и 3 соотношение длин: . это условия постоянства расстояний между точками в абсолютно твёрдом теле.Выведем формулу Эйлера для распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела. , 1) ,

- скорость точки О’, - скорость точки Q во вращательном движении тела (так как длина постоянна). Так как координаты точки Qпостоянны, то . Тогда: 2) ,

где . Скорость точки Q: . 3) Выразим и производные через направляющие косинусы : . Тогда: (в неподвижной системе). 4) Проекция на ось (k= 1,2,3): . Скорости точек во вращательном движении – линейные функции координат точек. 5) Получим более простую и наглядную форму закона распределения скоростей, используя свойства функции . , Дифференцируем по t: . По свойству производной от произведения: при j= k =>, при j≠ k=>. Свойства:а) симметрия по kи j; б) при j= k=>равенство «0»; в) размерность t-1, т. е. угловая скорость (угол в радианах), так как - скорость.

Покажем, что

Действительно: , - по аналогии. Итак: или: 7) , где - единичные вектора, жёстко связанные с телом. Положим - вектор, где , , , ,8) Тогда: -Описывает распределение скоростей. Назовём вектором мгновенной угловой скорости, а прямая на которой он располагается, в рассматриваемый момент времени, проходящую через точку О’ – осью мгновенного вращения, или мгновенной осью. Таким образом, закон распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела в любом движении: .

20.Теорема о движении центра масс.

В ряде случаев для определения характера движения системы (особенно твердого тела), достаточно знать закон движения ее центра масс. Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы и сложим почленно их левые и правые части. Тогда получим: . Преобразуем левую часть равенства. Из формулы для радиус-вектора центра масс имеем: . Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по времени и замечая, что производная от суммы равна сумме производных, найдем: или , где - ускорение центра масс системы. Так как по свойству внутренних сил системы , то, подставляя все найденные значения, получим окончательно: . Уравнение и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Сравнивая с уравнением движения материальной точки, получаем другое выражение теоремы: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему. Проектируя обе части равенства на координатные оси, получим: . Эти уравнения представляют собою дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат. Значение доказанной теоремы состоит в следующем. 1) Теорема дает обоснование методам динамики точки. Из уравнений видно, что решения, которые мы получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела, т. е. имеют вполне конкретный смысл. В частности, если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс. Таким образом, поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных случаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс. 2) Теорема позволяет при определении закона движения центра масс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы. В этом состоит ее практическая ценность.