Условные законы распределения случайных величин, входящих в систему

Выше отмечалось, что, зная закон распределения системы, можно определить безусловные законы распределения отдельных величин, входящих в систему.

Возникает вопрос: можно ли по известным безусловным законам распределения отдельных величин определить закон распределения системы случайных величин? В общем случае ответ на этот вопрос дать нельзя.

Для того чтобы в полной мере охарактеризовать систему случайных величин, ещё нужно знать зависимость между ними. Эта зависимость определяется так называемыми "условными законами распределения".

Рассмотрим задачу определения вероятности попадания случайной точки в элементарный прямоугольник DR.

Если известна плотность распределения системы f (x, y), то вероятность того, что случайная точка (X, Y) окажется в прямоугольнике DR, равняется:

Р((X, Y)Î DR) = f (x, y)×D x ×D y (1)

Если известна плотность распределения относительной величины, входящей в систему, то эта вероятность на основании о вероятности произведения двух событий может быть определена по формуле: Р((X, Y)Î DR) = f (x)D x × f (y / x)D y (2)

f (x)D x – вероятность того, что точка окажется в отрезке (х, х +D х);

f (y)D y – вероятность того, что точка окажется в отрезке (y, y +D y);

f (y / x)D y – вероятность того, что точка окажется в отрезке (х, х +D х) при х произошедшем.

f (x) – безусловная плотность распределения случайной величины Х.

f (y / x) – безусловная плотность распределения случайной величины Y.

Если приравнять выражения (1) и (2) друг другу, то плотность распределения системы будет, соответственно, равна: f (x, y) = f (x) ×f (y / x) = f (y)× f (x / y) (3)

Формула (3) называется формулой умножения законов распределения случайных величин.

Из формулы (3) следует, что условная плотность распределения одной случайной величины равна частному плотности распределения системы к плотности распределения другой случайной величины: (4)

Если известна плотность распределения системы, то условная плотность распределения может быть определена по формуле:

(5)

Если случайные величины независимы, то условные плотности распределения и безусловные плотности распределения равны друг другу. Соответственно, плотность распределения системы может быть выражена как произведение безусловных плотностей распределения каждой из величин, входящих в систему.

Зависимость или независимость случайных величин, входящих в систему, можно определить по виду плотности распределения системы.

Если выражение, представляющее плотность распределения системы, может быть выражено как произведение двух функций, одна из которых зависит только от величины y, а вторая – только от величины х, то случайные величины, входящие в систему, являются независимыми.

Не всегда некореллированные случайные величины являются независимыми. То есть может быть так, что коэффициент корелляции между случайными величинами равен 0, а условные и безусловные плотности распределения не равны друг другу, то есть случайные величины – зависимые.

Если же коэффициент корелляции отличен от 0, то случайные величины обязательно зависимы, то есть условные и безусловные законы распределения не равны друг другу.