Для произвольной плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия.

Первая форма уравнений равновесия:

 

1. .

2. .

3. .

 

Третье уравнение составляют относительно произвольной точки. Лучше всего брать точку, в которой имеется больше неизвестных реакций.

Вторая форма уравнений равновесия:

1. .

2. .

3. .

 

При использовании второй формы уравнений равновесия необходимо, чтобы ось х не была перпендикулярна прямой АВ.

Третья форма уравнений равновесия:

 

1. .

2. .

3. .

 

При использовании третьей формы уравнений равновесия необходимо, чтобы точки А, В, С не лежали на одной прямой.

 

Задача 8. Определить реакции опор, если F = 10 кН, q = 2 кН/м, М = 3 кНм (рис. 4.7).

Решение. Рассмотрим равновесие балки АВ под действием силы , момента , равномерно распределенной нагрузки и реакций связей .

Рис. 4.7

Составим три уравнения равновесия по первой форме. Равномерно распределенную нагрузку заменим равнодействующей кН, которая приложена в середине участка BD:

 

1. .

2. .

3. .

 

Находим из (1)

,

из (3)

,

из (2)

.

Ответ.

 

Минус показывает, что направление противоположно на­правлению, показанному на рис. 4.7.

Задача 9. На балку с защемленным концом (рис. 4.2.1, а) действует распределенная по линейному закону нагрузка интенсивностью q = 0,2 кН/м. Сила F = 10 кH действует под углом α = 45⁰ к оси балки, кроме того, приложена пара сил с моментом М = 4 кH∙м. Определить реакцию заделки.

Решение. 1. Составление расчетной схемы (рис. 4.2.1, б). Объектом равновесия является балка АВ. К ней приложены активные силы , пара сил с моментом ираспределенная по линейному закону нагрузка. Равнодействующая приложена в точке О,

Связью, наложенной на балку АВ,является жесткая заделка А. Применяя принцип освобождаемости от связей к балке АВ,заменим действие этой заделки на балку силами реакций и реактивным моментом . Рассмотрим теперь равновесие балки АВ как свободного твердого тела, на которое действуют, кроме активных сил, еще и реакции связи.

2. Условия равновесия:

 

.

а)

 

б)

Рис. 4.2.1

 

3. Составление уравнений равновесия. Для плоской произвольной системы сил условиям равновесия соответствуют три уравнения:

 

; (а)

; (б)

. (в)

 

Для балки с жёсткой заделкой в качестве моментальной точки лучше брать заделку, что позволит исключить лишние неизвестные.

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов.

Из уравнения (а) находим:

.

Из уравнения (б) получаем:

.

 

Наконец, из уравнения (в) находим:

 

Проверка. Составим уравнение моментов относительно точки В, подставим найденные реакции:

 

.

 

Положительные значения реакций связей подтверждают правильность выбранных направлений этих сил.

Задача 10. Определить реакции опор А и В балки, находящейся под действием одной сосредоточенной силы и пары сил. Нагрузка и раз­меры указаны на чертеже (рис. 4.2.2).

Решение.

Рис. 4.2.2

 

кН,

кН

кН.