Применение теоремы запаздывания для нахождения изображений запаздывающих процессов.

Теорема. Если .

Т.о., запаздывание оригинала на время соответствует умножению изображения на .

Примеры 1-4. Построить графики и найти изображения следующих оригиналов: 1)

Решение.

Построим график

Так как , то ;

2)

Решение.

Так как , то ;

3)

Решение. Так как , то ;

4)

Решение.

Т.к.
;

Чтобы воспользоваться теоремой запаздывания нужно преобразовать оригинал к удобному для получения изображения виду, т.е.

;

5)

Решение. Преобразуем оригинал:

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему запаздывания.

Примеры 1-4 для самостоятельного решения.

Построить графики и найти изображения следующих оригиналов:

1) ;	2) ;	3) ;
4)

Ответы:

1)

2)

 

3)	4)

 

 

 

 

Изображение кусочно - непрерывных функций.

 

Примеры. Построить график оригинала, записать его одним аналитическим выражением, найти изображение.

1)

Решение.

;

2)

Решение:

 

Приведём оригинал к виду, удобному для получения изображения.

Применяя свойства линейности и теорему запаздывания, получаем

;

3)

Решение:

Приведём оригинал к виду, удобному для получения изображения

.

Примеры 1-4 для самостоятельного решения.

Построить график, записать одним аналитическим выражением, найти изображение.

1) ;	2) ;
3) ;	4) .

Ответы:

1) ;

2)

3)

Примеры 5-6. По графику записать оригинал, представить его одним аналитическим выражением, найти изображение.

5)

Решение:

Приведем к виду, удобному для применения свойства линейности и теоремы запаздывания, получаем

6)

Оригинал:

Запишем оригинал одним аналитическим выражением, чтобы применить теорему запаздывания

Тогда

;

Примеры для самостоятельного решения.

По графику найти оригинал, представить его одним аналитическим выражением и найти изображение.

 

1) 2)

3) 4)

Ответы:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

Применение теорем о дифференцировании оригинала и изображения для нахождения изображений.

Теорема о дифференцировании оригинала.

Если , то , где

Следствие. Если , то ,

Пример1.

Найти изображение

Решение.

Теорема о дифференцировании изображения.

Если , то .

Следствие. Если , то .

Пример 2. Найти изображение .

Решение:

Т. к. , то , т.е. , т.е. Так как , то .

Пример 3. Найти изображение .

Решение:

, т.е. .

Пример 4. Найти изображение .

Решение:

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему о дифференцировании оригинала

2. Сформулируйте теорему о дифференцировании изображения

Примеры 1-6 для самостоятельного решения.

Найти изображение с помощью теорем о дифференцировании оригинала и изображения.

1) , если ;

2) , если ;

3) ; 4) ; 5) ;6) ;

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Изображение интеграла от оригинала.

Теорема об интегрировании оригинала.

Если , то .

Примеры. Найти оригинал и изображение:

1) ; 2) ; 3) ;

Решение.

1) - по теореме об изображении интеграла.

, тогда .
2) , отсюда .
3) ; , т.о. .
	Вопросы для самопроверки 1.Сформулируйте теорему об интегрирования оригинала

Примеры для самостоятельного решения.

Найти изображения следующих интегралов

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6)

Ответы:

1) ;	2) ;	3)
4) ;	5) ;	6)