Интерполяционные многочлены Лагранжа.

Пусть на некотором промежутке заданы различных узлов , , , …, , а также значения некоторой функции , , , …, в этих узлах. Необходимо построить полином , проходящий через заданные точки, т.е.

Интерполяционный полином Лагранжа имеет следующую формулу:

(4.1)

где -фундаментальные полиномы Лагранжа. Они удовлетворяют равенствам

(4.2)

и зависят лишь от заданных узлов , но не от значений интерполируемой функции .

 

Интерполяционные многочлены Ньютона.

Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:

где

- разделенная разность первого порядка,

- разделенная разность второго порядка,

- разделенная разность третьего порядка и т.д.

 

 

Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов.

Если некоторая физическая величина зависит от другой величины, то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x. В результате измерений получается ряд значений:

x1, x2,..., xi,,..., xn;

y1, y2,..., yi,,..., yn.

По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ(x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ(x). Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Определить их позволяет метод наименьших квадратов. Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на кривую. Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, была наименьшей.

Для задачи аппроксимации сглаживанием критерий близости аппроксимирующей функции к исходным данным , рассматривается как минимальное отклонение значений в заданных точках. Количественно отклонение может быть оценено различными способами. Наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому необходимо минимизировать сумму квадратов:

(4.3)

где _, - значения данных - значение аппроксимирующей функции в точке ; - число данных, - незвестные параметры. Задача сводится к нахождению экстремума функции параметров .

Линейная аппроксимация. В случае линейной формулы сумма квадратов (4.3) принимает вид:

(4.4)

Функция (4.4) имеет минимум в точках, в которых частные производные от по параметрам и обращаются в нуль, т.е. ;

(4.5)(4.6)

 

Решая систему уравнений (4.6), получим значения и уравнения .

Полиномиальная аппроксимация. В случае выбора зависимости в виде полинома, например, 2-й степени и (4.3) принимает вид:

(4.8)

Функция (4.8) имеет минимум в точках, в которых частные производные от по параметрам , , обращаются в нуль, т.е.:

, , (4.9)

В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Или

(4.10)

 

Решая систему линейных уравнений (4.10), получим значения параметров , и функции .