Базис и ранг системы векторов

СИСТЕМА ВЕКТОРОВ

1.1. Разложение вектора по системе векторов

Вектор k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + … + k_n a _n называется линейной комбинацией векторов

a ₁, a ₂, …, a _n скоэффициентами k ₁, k ₂, …, k_n.

Вектор bлинейно выражается через векторы a ₁, a ₂, …, a _n,если

b = k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + … + k_n a _n.

В этом случае говорят также, что bразлагается по векторам a ₁, a ₂, …, a _n. Каждый

n -мерный вектор b = { b ₁, b ₂, …, b_n } однозначно разлагается по диагональной системе

e ₁ = {1, 0, …, 0},

e ₂ = {0, 1, …, 0},

..............

e _n = {0, 0, …, 1}

с коэффициентами, которые равны координатам вектора b:

b = b ₁ e ₁ + b ₂ e ₂ + … + b_n e _n.

Чтобы найти разложение вектора b по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _n достаточно найти какое-нибудь решение системы уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _nx_n = b.

Пример.

Выяснить, разлагается ли вектор b по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _n:

b = { 2, 7, 17, 0}, a ₁ = { 2, 4, 3, 0}, a ₂ = { –3, 0, 1, 3}, a ₃ = { 1, –1, 10, –3}.

Р е ш е н и е. Ищем общее решение системы уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + a ₃ x ₃= b

методомГаусса. Для этого запишем эту систему по координатам:

Расширенная матрица системы

~ ~

~ ~ ~ .

Разрешенная система имеет вид: (r_A = r_A|B = 3, n = 3).

Система определена: х ₃ = 1, х ₂ = 1, х ₁ = 2.

Следовательно, b = 2 a ₁+ a ₂+ a ₃.

Задания. Выяснить, разлагается ли вектор b по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _n:

1. b = { 2, 2, 3, 3}, a ₁ = { 1, 2, 3, 1}, a ₂ = { 2, 1, 2, 3}, a ₃ = { 3, 2, 4, 4}.

2. b = { 4, 1, 3, 1}, a ₁ = { 2, 0, 1, 1}, a ₂ = { 1, 1, 2, -2}, a ₃ = { 2, 1, 3, -3 }.

3. b = { -1, 1, 3, 1}, a ₁ = { 1, 2, 1, 1}, a ₂ = { 1, 1, 1, 2}, a ₃ = { -3, -2, 1, -3}.

4. b = { 1, 0, 0, 1}, a ₁ = { 2, 1, 1, 3}, a ₂ = { 3, 0, -1, 2}, a ₃ = { 1, -1, 0,1},

a ₄ = { 1, 0, -2, -1 }.

5. Показать, что ни один из векторов диагональной системы не разлагается по остальным ее векторам.

6. Вектор b разлагается по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _m. Доказать, что каждый вектор системы b + a ₁, b + a ₂, …, b + a _m разлагается по системе a ₁, a ₂, …, a _m.

 

 

1.2. Линейная зависимость

Система векторов a ₁, a ₂, …, a _n называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа k ₁, k ₂, …, k_n, не все равные нулю, что

k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + … + k_n a _n = Θ, где Θ = {0, 0, …, 0}.

Система векторов a ₁, a ₂, …, a _n называется линейно независимой, если из каждого соотношения вида k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + … + k_n a _n = Θ следует

k ₁= k ₂= … = k_n =0.

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда система уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _nx_n = Θ

имеет ненулевое решение. Система векторов линейно н е зависима тогда и только тогда, когда система уравнений a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _nx_n = Θ имеет только нулевое решение.

Вектор b разлагается по линейно независимой системе a ₁, a ₂, …, a _n тогда и только тогда, когда a ₁, a ₂, …, a _n, b – линейно зависимая система векторов.

Система векторов линейно зависима, если количество координат у векторов системы меньше, чем векторов в системе.

Если каждый вектор системы b ₁, b ₂, …, b _n разлагается по векторам a ₁, a ₂, …, a _m и n > m, то b ₁, b ₂, …, b _n – линейно зависимая система векторов.

Пример 1.

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

a ₁ = { 3, 5, 1, 4}, a ₂ = { –2, 1, -5, -7}, a ₃ = { -1, –2, 0, –1}.

Р е ш е н и е. Ищем общее решение системы уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + a ₃ x ₃= Θ

методомГаусса. Для этого запишем эту однородную систему по координатам:

Матрица системы

~ ~ ~ .

Разрешенная система имеет вид: (r_A = 2, n = 3). Система совместна и неопределена. Ее общее решение (x ₂– свободная переменная): x ₃ = 13 x ₂; x ₁=5 x ₂ =>

=> X _o = .Наличие ненулевого частного решения, например, , говорит о том, векторы a ₁, a ₂, a ₃ линейно зависимы.

Пример 2.

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1. a ₁ = { -20,-15, -4}, a ₂ = { –7, -2, -4}, a ₃ = { 3, –1, –2}.

Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему уравнений a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + a ₃ x ₃ = Θ

или в развернутом виде (по координатам)

Система однородна. Если она невырождена, то она имеет единственное решение. В случае однородной системы – нулевое (тривиальное) решение. Значит, в этом случае система векторов независима. Если же система вырождена, то она имеет ненулевые решения и, следовательно, она зависима.

Проверяем систему на вырожденность:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Система невырождена и,т.о., векторы a ₁, a ₂, a ₃ линейно независимы.

Задания. Выяснить,является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1. a ₁ = { -4, 2, 8}, a ₂ = { 14, -7, -28}.

2. a ₁ = { 2, -1, 3, 5}, a ₂ = { 6, -3, 3, 15}.

3. a ₁ = { -7, 5, 19}, a ₂ = { -5, 7, -7}, a ₃ = { -8, 7, 14}.

4. a ₁ = { 1, 8, -1}, a ₂ = { -2, 3, 3}, a ₃ = { 4, -11, 9}.

5. a ₁ = {0, 1, 1, 0}, a ₂ = {1, 1, 3, 1}, a ₃ = {1, 3, 5, 1}, a ₄ = {0, 1, 1, -2}.

6. Доказать, что система векторов будет линейно зависимой, если она содержит:

а) два равных вектора;

б) два пропорциональных вектора.

7. Ненулевой вектор b разлагается по системе a ₁, a ₂, a ₃ и по системе a ₄, a ₅, a ₆. Доказать,

что a ₁, a ₂, a ₃, a ₄, a ₅, a ₆ линейно зависимая система векторов.

8. Доказать, что векторы a ₂- a ₁, a ₃- a ₁ не пропорциональны, если a ₁, a ₂, a ₃– линейно

независимые векторы.

Пример.

Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

а ₁={5, 2, -3, 1}, а ₂={4, 1, -2, 3}, а ₃={1, 1, -1, -2}, а ₄={3, 4, -1, 2}, а ₅={13, 8, -7, 4}.

Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

а ₁ х ₁ + а ₂ х ₂ + а ₃ х ₃ + а ₄ х ₄ + а ₅ х ₅= 0

или в развернутом виде .

Будем решать эту систему методом Гаусса, не меняя местами строки и столбцы, и, кроме того, выбирая главный элемент не в верхнем левом углу, а по всей строке.Задача состоит в том, чтобы выделить диагональную часть преобразованной системы векторов.

~ ~

~ ~ ~ .

Разрешенная система векторов, равносильная исходной, имеет вид

а ₁¹ х ₁ + а ₂¹ х ₂ + а ₃¹ х ₃ + а ₄¹ х ₄ + а ₅¹ х ₅= 0,

где а ₁¹= , а ₂¹= , а ₃¹= , а ₄¹= , а ₅¹= . (1)

Векторы а ₁¹, а ₃¹, а ₄¹образуют диагональную систему. Следовательно, векторы а ₁, а ₃, а ₄ образуют базис системы векторов а ₁, а ₂, а ₃, а ₄, а ₅.

Разложим теперь векторы а ₂и а ₅ по базису а ₁, а ₃, а ₄. Для этого сначала разложим соответствующие векторы а ₂¹и а ₅¹ по диагональной системе а ₁¹, а ₃¹, а ₄¹, имея в виду, что коэффициентами разложения вектора по диагональной системе являются его координаты x_i.

Из (1) имеем:

а ₂¹= а ₃¹· (-1) + а ₄¹· 0 + а ₁¹·1 => а ₂¹= а ₁¹ – а ₃¹.

а ₅¹= а ₃¹· 0 + а ₄¹· 1 + а ₁¹·2 => а ₅¹= 2 а ₁¹ + а ₄¹.

Векторы а ₂и а ₅ разлагаются по базису а ₁, а ₃, а ₄ с теми же коэффициентами, что и векторы а ₂¹и а ₅¹ по диагональной системе а ₁¹, а ₃¹, а ₄¹ (те коэффициенты x_i). Следовательно,

а ₂= а ₁ – а ₃, а ₅= 2 а ₁ + а ₄.

Задания. 1. Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

1. a ₁ = { 1, 2, 1}, a ₂ = { 2, 1, 3}, a ₃ = { 1, 5, 0 }, a ₄ = { 2, -2, 4}.

2. a ₁ = { 1, 1, 2}, a ₂ = { 0, 1, 2}, a ₃ = { 2, 1, -4 }, a ₄ = { 1, 1, 0}.

3. a ₁ = { 1, -2, 3}, a ₂ = { 0,1, -1}, a ₃ = { 1, 3, 0}, a ₄ = { 0, -7, 3 }, a ₅ = { 1, 1, 1}.

4. a ₁ = { 1, 2, -2}, a ₂ = { 0, -1, 4}, a ₃ = { 2, -3,3 }.

 

2. Найти все базисы системы векторов:

1. a ₁ = { 1, 1, 2}, a ₂ = { 3, 1, 2}, a ₃ = { 1, 2, 1 }, a ₄ = { 2, 1, 2}.

2. a ₁ = { 1, 1, 1}, a ₂ = { -3, -5, 5}, a ₃ = { 3, 4, -1 }, a ₄ = { 1, -1, 4}.

 

Пример.

Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональную систему векторов:

а ₁={2, 0, 1, 1}, а ₂={1, 2, 0, 1}, а ₃={0, 1, -2, 0}.

Р е ш е н и е. Полагаем b ₁ = a ₁. Затем строим векторы b ₂ и b ₃.

b ₂ = a ₂ – b ₁ = {1, 2, 0, 1} – ·{2, 0, 1, 1} = {1, 2, 0, 1} – ·{2, 0, 1, 1} =

= {0, 2, – , };

b ₃ = a ₃ – b ₁– b ₂ = {0, 1, -2, 0} – ·{2, 0, 1, 1}–

– ·{0, 2, – , }= {0, 1, -2, 0} – (– ) ·{2, 0, 1, 1}– ·{0, 2, – , }=

= {0, 1, -2, 0} +{ , 0, , }–{0, , – , }={ , – , – , 0}.

Т.о., векторы b ₁ = {2, 0, 1, 1}, b ₂ = {0, 2, – , }, b ₃ = { , – , – , 0} являются результатом ортогонализации исходной системы векторов.

Задания. 1. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональную систему векторов:

1. {0, 1, 1}, {1, 1, 1}, {-3, 3, 1}.

2. {1, -1, 1}, {2, 1, 2}, {3, 1, 1}.

3. {1, -2, 1}, {0, 1, -4}, {2, -3, -2}, {7, 4, 1}.

4. {-1, 1, 1, 1}, {0, 2, 1, 1}, {1, 1, 1, 3}.

 

2. Преобразовать систему векторов

{1, -1, 1, 1}, {-1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, -1} в ортонормированную.

 

 

 

СИСТЕМА ВЕКТОРОВ

1.1. Разложение вектора по системе векторов

Вектор k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + … + k_n a _n называется линейной комбинацией векторов

a ₁, a ₂, …, a _n скоэффициентами k ₁, k ₂, …, k_n.

Вектор bлинейно выражается через векторы a ₁, a ₂, …, a _n,если

b = k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + … + k_n a _n.

В этом случае говорят также, что bразлагается по векторам a ₁, a ₂, …, a _n. Каждый

n -мерный вектор b = { b ₁, b ₂, …, b_n } однозначно разлагается по диагональной системе

e ₁ = {1, 0, …, 0},

e ₂ = {0, 1, …, 0},

..............

e _n = {0, 0, …, 1}

с коэффициентами, которые равны координатам вектора b:

b = b ₁ e ₁ + b ₂ e ₂ + … + b_n e _n.

Чтобы найти разложение вектора b по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _n достаточно найти какое-нибудь решение системы уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _nx_n = b.

Пример.

Выяснить, разлагается ли вектор b по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _n:

b = { 2, 7, 17, 0}, a ₁ = { 2, 4, 3, 0}, a ₂ = { –3, 0, 1, 3}, a ₃ = { 1, –1, 10, –3}.

Р е ш е н и е. Ищем общее решение системы уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + a ₃ x ₃= b

методомГаусса. Для этого запишем эту систему по координатам:

Расширенная матрица системы

~ ~

~ ~ ~ .

Разрешенная система имеет вид: (r_A = r_A|B = 3, n = 3).

Система определена: х ₃ = 1, х ₂ = 1, х ₁ = 2.

Следовательно, b = 2 a ₁+ a ₂+ a ₃.

Задания. Выяснить, разлагается ли вектор b по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _n:

1. b = { 2, 2, 3, 3}, a ₁ = { 1, 2, 3, 1}, a ₂ = { 2, 1, 2, 3}, a ₃ = { 3, 2, 4, 4}.

2. b = { 4, 1, 3, 1}, a ₁ = { 2, 0, 1, 1}, a ₂ = { 1, 1, 2, -2}, a ₃ = { 2, 1, 3, -3 }.

3. b = { -1, 1, 3, 1}, a ₁ = { 1, 2, 1, 1}, a ₂ = { 1, 1, 1, 2}, a ₃ = { -3, -2, 1, -3}.

4. b = { 1, 0, 0, 1}, a ₁ = { 2, 1, 1, 3}, a ₂ = { 3, 0, -1, 2}, a ₃ = { 1, -1, 0,1},

a ₄ = { 1, 0, -2, -1 }.

5. Показать, что ни один из векторов диагональной системы не разлагается по остальным ее векторам.

6. Вектор b разлагается по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _m. Доказать, что каждый вектор системы b + a ₁, b + a ₂, …, b + a _m разлагается по системе a ₁, a ₂, …, a _m.

 

 

1.2. Линейная зависимость

Система векторов a ₁, a ₂, …, a _n называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа k ₁, k ₂, …, k_n, не все равные нулю, что

k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + … + k_n a _n = Θ, где Θ = {0, 0, …, 0}.

Система векторов a ₁, a ₂, …, a _n называется линейно независимой, если из каждого соотношения вида k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + … + k_n a _n = Θ следует

k ₁= k ₂= … = k_n =0.

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда система уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _nx_n = Θ

имеет ненулевое решение. Система векторов линейно н е зависима тогда и только тогда, когда система уравнений a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _nx_n = Θ имеет только нулевое решение.

Вектор b разлагается по линейно независимой системе a ₁, a ₂, …, a _n тогда и только тогда, когда a ₁, a ₂, …, a _n, b – линейно зависимая система векторов.

Система векторов линейно зависима, если количество координат у векторов системы меньше, чем векторов в системе.

Если каждый вектор системы b ₁, b ₂, …, b _n разлагается по векторам a ₁, a ₂, …, a _m и n > m, то b ₁, b ₂, …, b _n – линейно зависимая система векторов.

Пример 1.

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

a ₁ = { 3, 5, 1, 4}, a ₂ = { –2, 1, -5, -7}, a ₃ = { -1, –2, 0, –1}.

Р е ш е н и е. Ищем общее решение системы уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + a ₃ x ₃= Θ

методомГаусса. Для этого запишем эту однородную систему по координатам:

Матрица системы

~ ~ ~ .

Разрешенная система имеет вид: (r_A = 2, n = 3). Система совместна и неопределена. Ее общее решение (x ₂– свободная переменная): x ₃ = 13 x ₂; x ₁=5 x ₂ =>

=> X _o = .Наличие ненулевого частного решения, например, , говорит о том, векторы a ₁, a ₂, a ₃ линейно зависимы.

Пример 2.

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1. a ₁ = { -20,-15, -4}, a ₂ = { –7, -2, -4}, a ₃ = { 3, –1, –2}.

Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему уравнений a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + a ₃ x ₃ = Θ

или в развернутом виде (по координатам)

Система однородна. Если она невырождена, то она имеет единственное решение. В случае однородной системы – нулевое (тривиальное) решение. Значит, в этом случае система векторов независима. Если же система вырождена, то она имеет ненулевые решения и, следовательно, она зависима.

Проверяем систему на вырожденность:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Система невырождена и,т.о., векторы a ₁, a ₂, a ₃ линейно независимы.

Задания. Выяснить,является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1. a ₁ = { -4, 2, 8}, a ₂ = { 14, -7, -28}.

2. a ₁ = { 2, -1, 3, 5}, a ₂ = { 6, -3, 3, 15}.

3. a ₁ = { -7, 5, 19}, a ₂ = { -5, 7, -7}, a ₃ = { -8, 7, 14}.

4. a ₁ = { 1, 8, -1}, a ₂ = { -2, 3, 3}, a ₃ = { 4, -11, 9}.

5. a ₁ = {0, 1, 1, 0}, a ₂ = {1, 1, 3, 1}, a ₃ = {1, 3, 5, 1}, a ₄ = {0, 1, 1, -2}.

6. Доказать, что система векторов будет линейно зависимой, если она содержит:

а) два равных вектора;

б) два пропорциональных вектора.

7. Ненулевой вектор b разлагается по системе a ₁, a ₂, a ₃ и по системе a ₄, a ₅, a ₆. Доказать,

что a ₁, a ₂, a ₃, a ₄, a ₅, a ₆ линейно зависимая система векторов.

8. Доказать, что векторы a ₂- a ₁, a ₃- a ₁ не пропорциональны, если a ₁, a ₂, a ₃– линейно

независимые векторы.

Базис и ранг системы векторов

Часть системы векторов называется базисом этой системы, если:

1) эта часть является линейно независимой системой векторов;

2) каждый вектор системы разлагается по векторам этой части.

Диагональная система векторов является базисом каждой системы, которая содержит ее в качестве части.

Если система уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _nx_n = Θ

является разрешенной, то векторы-коэффициенты при неизвестных, составляющих набор разрешенных неизвестных, образуют диагональную часть системы векторов a ₁, a ₂, …, a _n.

Векторы системы разлагаются по базису этой системы е д и н с т в е н н ы м образом.

Каждую линейно независимую часть системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.

Все базисы данной системы состоят из одного и того же числа векторов.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе. Если ранг системы векторов равен r, то каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из r векторов, является ее базисом. Системы векторов называются эквивалентными, если векторы одной системы разлагаются по векторам другой системы и наоборот. Ранги эквивалентных систем равны.

Вектор b тогда и только тогда разлагается по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _m, когда ранги систем a ₁, a ₂, …, a _m и a ₁, a ₂, …, a _m, b равны.

Построение базиса системы векторов a ₁, a ₂, …, a_n и разложений векторов по базису:

1) Рассмотреть систему уравнений a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _nx_n = Θ и найти равносильную ей разрешенную систему уравнений

a´ ₁ x ₁ + a´ ₂ x ₂ + … + a´ _nx_n = Θ.

 

2) Найти диагональную часть системы векторов a´ ₁, a´ ₂, …, a´ _n.

 

3) Отметить векторы системы a ₁, a ₂, …, a _n, соответствующие диагональной части системы a´ ₁, a´ ₂, …, a´ _n;они образуют базис системы a ₁, a ₂, …, a _n.

 

4) Разложить вектор a´ _j по диагональной части системы a´ ₁, a´ ₂, …, a´ _n; вектор a _j, 1 ≤ j ≤ n, разлагается по базису, найденному в пункте 3, с коэффициентами разложения a´ _j по диагональной части системы a´ ₁, a´ ₂, …, a´ _n.

Пример.

Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

а ₁={5, 2, -3, 1}, а ₂={4, 1, -2, 3}, а ₃={1, 1, -1, -2}, а ₄={3, 4, -1, 2}, а ₅={13, 8, -7, 4}.

Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

а ₁ х ₁ + а ₂ х ₂ + а ₃ х ₃ + а ₄ х ₄ + а ₅ х ₅= 0

или в развернутом виде .

Будем решать эту систему методом Гаусса, не меняя местами строки и столбцы, и, кроме того, выбирая главный элемент не в верхнем левом углу, а по всей строке.Задача состоит в том, чтобы выделить диагональную часть преобразованной системы векторов.

~ ~

~ ~ ~ .

Разрешенная система векторов, равносильная исходной, имеет вид

а ₁¹ х ₁ + а ₂¹ х ₂ + а ₃¹ х ₃ + а ₄¹ х ₄ + а ₅¹ х ₅= 0,

где а ₁¹= , а ₂¹= , а ₃¹= , а ₄¹= , а ₅¹= . (1)

Векторы а ₁¹, а ₃¹, а ₄¹образуют диагональную систему. Следовательно, векторы а ₁, а ₃, а ₄ образуют базис системы векторов а ₁, а ₂, а ₃, а ₄, а ₅.

Разложим теперь векторы а ₂и а ₅ по базису а ₁, а ₃, а ₄. Для этого сначала разложим соответствующие векторы а ₂¹и а ₅¹ по диагональной системе а ₁¹, а ₃¹, а ₄¹, имея в виду, что коэффициентами разложения вектора по диагональной системе являются его координаты x_i.

Из (1) имеем:

а ₂¹= а ₃¹· (-1) + а ₄¹· 0 + а ₁¹·1 => а ₂¹= а ₁¹ – а ₃¹.

а ₅¹= а ₃¹· 0 + а ₄¹· 1 + а ₁¹·2 => а ₅¹= 2 а ₁¹ + а ₄¹.

Векторы а ₂и а ₅ разлагаются по базису а ₁, а ₃, а ₄ с теми же коэффициентами, что и векторы а ₂¹и а ₅¹ по диагональной системе а ₁¹, а ₃¹, а ₄¹ (те коэффициенты x_i). Следовательно,

а ₂= а ₁ – а ₃, а ₅= 2 а ₁ + а ₄.

Задания. 1. Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

1. a ₁ = { 1, 2, 1}, a ₂ = { 2, 1, 3}, a ₃ = { 1, 5, 0 }, a ₄ = { 2, -2, 4}.

2. a ₁ = { 1, 1, 2}, a ₂ = { 0, 1, 2}, a ₃ = { 2, 1, -4 }, a ₄ = { 1, 1, 0}.

3. a ₁ = { 1, -2, 3}, a ₂ = { 0,1, -1}, a ₃ = {