Функции намножественатуральныхчиселв комбинаторике

 

Вшкольномкурсеизучаетсямногофункций,задаваемыхнавещественнойосиилиееподмножествах.Подмножестваэтиявляютсяотрезками,интервалами,полуинтервалами,…..Внастоящемпараграфемыопределимтефункции,которыеможнорассматриватьтольконамножествеN,инайдемихприложенияв комбинаторике –разделематематики,посвященномрешениюзадачвыбораирасположенияэлементовконечныхмножеств.

 

Основойдлявсехтакихфункций можносчитать факториал:

 

n!=1´2´3´...´n.

 

1. Попробуемрешитьтакуюзадачу:сколькимиспособамиможнорассадитьнаnпронумерованныхстульяхnгостей?Напервыйстулможнопосадитьлюбогоизnгостей.Выбраводногоизних,навторойстулможноусадитьужеодногоизоставшихся(n–1)претендентов.Выбравиэтого,натретийстулвыбираемодногоиз(n–2)гостей….Напоследнийстулпретендентбудеттолькоодин.Такимобразом,если двигатьсяот конца

процесса,мыполучим1´2´3´...´n= n!вариантов.

 

Взаимнооднозначноеотображениеконечногоупорядоченногомножестванасебяназывается подстановкой элементовмножества.Каждаяпоследовательностьэлементовконечногомножествас учетомпорядка

называется перестановкой этихэлементовиобозначается

Pn. Перестановки

неменяютэлементовмножестваилиихколичества,онименяютпорядокэлементов.Такимобразом,числовсевозможныхперестановоквмножестве

изnэлементов

Pn =n!.

 

2. Представимтеперь,что,каквпредыдущейзадаче,унасnпронумерованныхстульев,номырассаживаемнанихmпретендентов,причемm>n.Конечно,всехусадитьмынесможем,нохотимвыяснить,сколькоимеетсявариантоврассаживания.Рассуждаятакже,каквпредыдущейзадаче,видим,чтона1-йстулимеетсяmпретендентов,навторой(m–1),натретий(m–2),….,наn-йстулостается(m–n+1)претендент.Итак, число вариантовравно

 

 

(m - n +1)´(m - n + 2)´...´(m -1)´ m =

m!.

(m - n)!

 

Любой упорядоченный набор n различных элементов множества,состоящегоизmэлементов, называется размещением изmпоn,число

такихразмещенийобозначается

Amn. Такимобразом,

 

 

Amn

= m!.

(m - n)!

 

3. Рассмотримтеперьнесколькодругуюзадачу,гдемы«раздаем»несидячиеместанапронумерованныхстульях(какизвестно,человекнеможетсидетьодновременноболее,чемнаодномстуле),а,например,nраритетныхкниггруппестрастныхбиблиофилов,состоящейизmчеловек.Скольковариантовраздачиnкнигmпретендентам?Напервуюкнигуунасmпретендентов,навторую–тожеmпретендентов,и

 

такдалее.Следовательно,мыимеем mn

междупретендентами.

вариантовраспределениякниг

 

Любойупорядоченныйнаборnэлементовмножества,состоящегоизm

элементов,называется размещениемсповторением изm поn иравен

mn.

 

4. Вернемсяковторойзадаче,гдемырассаживалиmчеловекнаnстульях,толькотеперьунасстульянепронумерованы,неотличаютсядруготдруга,инаснеинтересует,гдектосидит,аинтересует,сидитчеловекилистоит.Значит,числовариантоврассаживаниясовпадаетсчисломвариантовотбораизmгостейгруппысчастливчиков,состоящейизnчеловек,которыесмогут сесть настулья.Решениеэтойзадачиможносвязать срешениемзадачи2.Представим,чтомырешилибызадачу2такимобразом:отбиралибыгруппыпоnчеловек,азатемделалибывнутригруппыотобранныхдлясиденияnчеловеквсевозможныеперестановки,чтобыучестьвсевариантырассаживаниянапронумерованныхстульях.Мыдолжныбылибыполучить

тотжерезультат:

Amn. Следовательно,количествовариантоввыбора групп

поnчеловекизmчеловекравно

Amn, деленноеначислоперестановокв

группе изnчеловек,тоестьна

n!.

 

Любоеподмножествоиз nэлементовмножества, состоящегоиз mэлементов,называется сочетанием из m по n, и числосочетаний

обозначается

Cmn. Всоответствиисрассуждениямиприрешениизадачи,

 

Cn =

Amn

 

или

 

Cmn =

m!.

m n!

n!(m - n)!

 

 

РЯДЫ

Числовыеряды

 

 

Понятиепределапоследовательностидаетвозможностьввестипонятие

¥

числовогоряда–бесконечнойсуммывида

å ak,где

k =1

ak –общийчленряда.

Напервыйвзглядбесконечноесуммированиеневозможноужехотябывсилуконечностижизнилюбого,ктозанимаетсясуммированием.Выходизположенияследующий:бесконечнаясуммапонимаетсякак предел

n

последовательности

sn –конечных n - ных частныхсумм

 

¥

sn = å ak. Таким

k =1

образом,суммойряда

å ak будем называтьчисло

k =1

å k

n

s = lim a.

n ®¥ k =1

 

Рядназывается сходящимся,еслидлянегосуществуетконечнаясумма.Рядназывается расходящимся,еслисоответствующийпределчастныхсуммне существует или бесконечен.

 

Пример 1. Сосчитаем сумму ряда

¥

å qk, | q |<1. Имеем согласно

k =1

 

формулесуммыгеометрическойпрогрессии

 

sn =

n

å

k =1

qk = q × qn -1.Поскольку

q -1

 

qn ® 0

 

при n ®¥,получим

¥

å qk =

k =1

q.

1- q

Заметим, чтопри| q |³1соответствующийрядрасходится.

 

 

¥

Пример 2. Сосчитаемсуммуряда å 1

 

. Имеем

 

 

sn = 1 + 1

 

 

+...+ 1

k =1 k (k +1)

= 2-1+ 3- 2+...+ n +1- n =

1×2 2×3

n (n +1) 1×2 2×3

n (n +1)

=1- 1+ 1- 1+...+ 1- 1

=1- 1,

¥

2 2 3

n n +1

n +1

следовательно,å 1

 

=1.

k =1 k (k +1)

 

Необходимым признаком сходимости числового ряда является

¥

n

условие:lim a = 0.Доказываетсяэтолегко:пустьряд

n ®¥

å akk =1

сходится,тоесть

n

существует lim s = s. При n ®¥справедливо:

n ®¥

n -1® ¥. Следовательно,

n -1

lim s = s. Поскольку

n ®¥

sn - sn -1= an, то из1-гои 2-госвойствпределов

последовательностейимеем:

lim an = lim(sn - sn -1)= 0, что и требовалось

 

доказать.

n ®¥

n ®¥

 

å

Заметим,чтонеобходимоеусловиесходимостинеявляетсядостаточным.Тоесть,стремлениекнулюобщегочленаряданеобеспечиваетегосходимость.

 

Контрпример. Покажем,чторяд

¥ 1, называемыйгармоническим

k =1 k

рядом,расходится.Дляэтогорассмотримпоследовательностьчастныхсумм

s 2 n,то естьчастныесуммы

s 2, s 4, s 8,.....Присуммированиичленовконечной

суммы

 

s 2 n

сгруппируемрядомстоящиечленысуммы,начинаяот

до

2 l +1

2 l +1,привсех l =1,..., n -1:

 

sn =1+ 1+ (1+ 1)+ (1+...+ 1)+...+ (1

 

+...+

1)>

2 2 3 4 5 8

2 n -1+1 2 n

>1+ 1+ 2× 1+ 4× 1+...+ 2 n -1× 1

=1+ n × 1.

2 4 8 2 n 2

Таким образом,

lim s 2

=¥, и значит, предел последовательности

n ®¥ n

частныхсуммне можетбыть конечным.

 

 

Свойствачисловых рядов

 

 

Следующиесвойствасходящихсярядовочевиднымобразомследуютизсвойствпределовпоследовательностей.

¥ ¥ ¥ ¥

1. Пустьряды

 

¥

å ak и

k =1

å bkk =1

сходятся, причем

å ak = s,

k =1

å bk = s.

k =1

Тогдаряд

å(a × ak + b × bk)

k =1

также сходится, причем

 

¥

å(a × ak + b × bk)= a × s + b ×s.

k =1

 

 

2. Ряды

¥

å akk =1

¥

и å ak + Nk =1

 

сходятсяилирасходятсяодновременно,

 

причем

¥ ¥

å ak + N = å ak - sN.

k =1

k =1