Определение расчетной схемы.

Московский Государственный Технический Университет

Им. Н.Э. Баумана.

 

Курсовая работа

по курсу «Механика твердого деформируемого тела».

 

 

Выполнил…………………….КовалевП.А.

Вариант…………………………………………….4

Группа……………………...............РКТ 2-71

Руководитель…………Мешковский В.Е.

 

Г.

Условия курсовой работы.

Двухопорная балка нагружена массовыми силами.

Балка прямоугольного сечения высотой h = 0,2 м и толщиной b = 1 см выполнена из материала АМг6 плотностью и модулем упругости . Длина пролета балки 2 l.

В соответствии с номером варианта принимаем l = 2,8 м и коэффициент перегрузки n = 3,8.

Требуется:

1. Определить расчетную схему. Объяснить переход от сосредоточенных сил к распределенным касательным напряжениям на торцах балки.

2. Объяснить граничные условия для напряжений на торцах балки.

3. Определить напряженное состояние балки.

4. Построить эпюры напряжений для сечений с координатами

5. Исходя из построенных эпюр напряжений показать выполнение принципа Сен-Венана.

6. Провести расчет напряжений методами сопротивления материалов.

7. Сравнить нормальные напряжения в сечениях балки, вычисленные методами теории упругости и сопротивления материалов.

8. Пояснить появление нормальных напряжений на торцах балки.

9. Построить эпюры нормальных напряжений вдоль оси Оу.

10. Определить деформированное состояние балки.

11. Что такое ПНС, ПНС обобщенное и ПДС.

12. Построить эпюры деформаций для сечений с координатами

13. Изобразить деформированное состояние балки в плоскости хОу.

14. Определить перемещения. Рассмотреть различные граничные условия на торцах балки (шарниры на осевой линии или шарниры на нижней поверхности балки).

15. Построить среднюю линию балки в деформированном состоянии.

16. Проверить гипотезу плоских сечений.

 

 

Решение.

Определение расчетной схемы.

Изобразим балку:

Отбросим шарниры и заменим их реакциями:

Для определения напряженного состояния воспользуемся функцией напряжений. Возьмем ее в виде полинома. Такой вид не позволяет анализировать участки вблизи места приложения сосредоточенной силы, поэтому необходимо заменить сосредоточенные силы на торцах балки на распределенные касательные.

Таким образом получили расчетную схему.

Функция напряжений и граничные условия.

Учитывая, что нагрузка на балку симметрична относительно оси Оу, коэффициенты при нечетных степенях х в функции напряжений будут равны нулю.

Функция напряжений:

Функция должна удовлетворять граничным условиям и бигармоническому уравнению. Найдем граничные условия.

1-я грань(x = l).

Условия означают, что на боковых торцах нет продольных сил и изгибающих моментов, а также сосредоточенная реакция опоры, равная , заменена распределенной по торцу нагрузкой.

2-я грань ().

На грани нет нагрузок.

3-я грань (x = - l).

См. выше.

4-я грань ().

Построение эпюр напряжений.

Теперь построим эпюры напряжений в сечениях Т.к. не зависит от координаты х, достаточно построить эпюру для одного сечения.

Эпюры .

 

Эпюра .

Эпюры .

5. Из построенных эпюр видно, что по мере удаления от боковых торцов балки напряжение принимает почти линейный характер (как при чистом изгибе). Нелинейность сильно заметна лишь вблизи краев. Таким образом, принцип Сен-Венана выполняется.

 

Эпюры деформаций.

Построим эпюры деформаций в сечениях

Эпюры .

Эпюры

Эпюры

Эпюры

 

Деформированное состояние.

Изобразим деформированное состояние балки в плоскости хОу.

Перемещения.

Теперь найдем перемещения.

В получившемся выражении одни слагаемые зависят только от х, а другие только оту. Обозначим эти группы слагаемых соответственно через и Тогда

Отсюда следует, что функция равна некоторой константе a, функция некоторой константе b.

Функции и будут иметь следующий вид:

Подставим в выражения для u и v.

 

Константы a, c, d и e найдем из условий закрепления и уравнения (*). Рассмотрим 2 случая закрепления.

1 – й случай. Шарниры на оси балки. В этом центр тяжести срединного сечения (0, 0) горизонтально не перемещается, а вертикальное перемещение равно прогибу балки δ. Прогибы на краях балки отсутствуют.

Наконец, из уравнения (*) с=0.

Получаем:

Подставим константы и построим среднюю линию балки (у=0):

Проверим гипотезу плоских сечений.

Изобразим сечение x=l после деформации:

Как видим, сечение не осталось плоским, а искривилось. Гипотеза не выполняется.

2 – й случай. Шарниры на нижней поверхности балки.В точках отсутствуют вертикальные перемещения. В середине балки в точке отсутствуют горизонтальные.

Отсюда следует а = 0, из (*) с = 0. Также d = 0.

В итоге получаем:

Заметим, что при изменении условий закрепления меняются только вертикальные перемещения. Подставим константы и построим среднюю линию балки.

За счет того, что опоры находятся снизу, крайние сечения немного сдвигаются вниз.

Проверим гипотезу плоских сечений:

Гипотеза не выполняется.

Московский Государственный Технический Университет

Им. Н.Э. Баумана.

 

Курсовая работа

по курсу «Механика твердого деформируемого тела».

 

 

Выполнил…………………….КовалевП.А.

Вариант…………………………………………….4

Группа……………………...............РКТ 2-71

Руководитель…………Мешковский В.Е.

 

Г.

Условия курсовой работы.

Двухопорная балка нагружена массовыми силами.

Балка прямоугольного сечения высотой h = 0,2 м и толщиной b = 1 см выполнена из материала АМг6 плотностью и модулем упругости . Длина пролета балки 2 l.

В соответствии с номером варианта принимаем l = 2,8 м и коэффициент перегрузки n = 3,8.

Требуется:

1. Определить расчетную схему. Объяснить переход от сосредоточенных сил к распределенным касательным напряжениям на торцах балки.

2. Объяснить граничные условия для напряжений на торцах балки.

3. Определить напряженное состояние балки.

4. Построить эпюры напряжений для сечений с координатами

5. Исходя из построенных эпюр напряжений показать выполнение принципа Сен-Венана.

6. Провести расчет напряжений методами сопротивления материалов.

7. Сравнить нормальные напряжения в сечениях балки, вычисленные методами теории упругости и сопротивления материалов.

8. Пояснить появление нормальных напряжений на торцах балки.

9. Построить эпюры нормальных напряжений вдоль оси Оу.

10. Определить деформированное состояние балки.

11. Что такое ПНС, ПНС обобщенное и ПДС.

12. Построить эпюры деформаций для сечений с координатами

13. Изобразить деформированное состояние балки в плоскости хОу.

14. Определить перемещения. Рассмотреть различные граничные условия на торцах балки (шарниры на осевой линии или шарниры на нижней поверхности балки).

15. Построить среднюю линию балки в деформированном состоянии.

16. Проверить гипотезу плоских сечений.

 

 

Решение.

Определение расчетной схемы.

Изобразим балку:

Отбросим шарниры и заменим их реакциями:

Для определения напряженного состояния воспользуемся функцией напряжений. Возьмем ее в виде полинома. Такой вид не позволяет анализировать участки вблизи места приложения сосредоточенной силы, поэтому необходимо заменить сосредоточенные силы на торцах балки на распределенные касательные.

Таким образом получили расчетную схему.