Распределения составляющих сопротивления и проводимости

Рис. 18

При исследовании гармонических процессов в отрезках линии, при расчёте согласующих распределённых устройств и в других приложениях большой интерес представляют выражения входного сопротивления Z (x) и входной проводимости Y (x) участка [0, x ] отрезка линии (0 £ x £ l). Участок отрезка однородной линии вместе с пассивной нагрузкой справа от сечения с координатой x (Рис. 18, а) можно заменить пассивной ветвью (Рис. 18, б), причём распределения напряжения и тока в остальной части отрезка линии не изменятся, если значения сопротивления Z (x) и проводимости Y (x) участка вычислить по определённым формулам. Выражения комплексных входных параметров участка конечного отрезка линии Z (x) и Y (x) зависят от вида его исходных комплексных характеристик и граничных условий на его конце.

Возьмём, к примеру, комплексные характеристики участка конечного отрезка в экспоненциальных функциях в виде (36) - (37). По определению

(44)

Применив подстановку (43), получим отсюда формулу

(45)

Аналогичным образом выводятся формулы для Y (x):

(46)

[†].(47)

Рис. 19

Если обратиться к выражениям комплексных характеристик участка конечного отрезка линии в гиперболических функциях (38) - (39), то при учёте граничных условий для конца отрезка (40) - (41) получаем одно из возможных выражений :

. (48)

В соответствии с принципом дуальности

. (49)

Анализ полученных выражений в общем виде довольно сложен, поэтому мы ограничимся иллюстрацией зависимостей Re Z (x), Im Z (x) и Re Y (x), Im Y (x) для некоторого частного примера с заданными значениями параметров нагрузки Z _н или Y _н, постоянной распространения линии и длины l её отрезка (Рис. 19 и 20).

Построенные графики показывают, что составляющие входных параметров участка конечного отрезка однородной линии Re Z (x), Im Z (x) и Re Y (x), Im Y (x) изменяются не монотонно, а с колебаниями, причём эти колебания происходят относительно значений Re Z _c, Im Z _c и Re Y _c, Im Y _c. С удалением от конца отрезка размах колебаний уменьшается, что объясняется падением влияния отражённых волн напряжения и тока. В результате значения входных параметров участка всё более определяются комплексами действующих значений падающих волн напряжения и тока. Такое объяснение подтверждается формулами для комплексных входных параметров участка конечного отрезка однородной линии. В частности, из формул (44) - (47) следует, что при и неограниченном возрастании длины участка x значения его сопротивления и проводимости стремятся к характеристическим:

Рис. 20

Размах колебаний зависит, конечно, и от соотношений значений параметров нагрузки и характеристических параметров Z _c и Y _c, иначе говоря от значения коэффициента отражения . Чем меньше рассогласование, тем колебания значений составляющих входных параметров участка менее заметны. При согласованной нагрузке Z _н = Z _c или Y _н = Y _c, отражённых волн напряжения и тока нет и r = 0; а из формул (44) - (47) следует .

Из графиков Рис. 19 и Рис. 20 также видно, что при некоторых значениях координаты сечения x отрезка линии значения входных параметров участка оказываются вещественными. Такие значения координаты называют резонансными.

Примечания:

1. При коротком замыкании конца отрезка однородной линии длиной l ( или, формально, ) из формул (48) и (49) при следует:

(50)

(51)

при I ₂= 0 или, формально, Y _н = 0 (режим холостого хода отрезка линии) из тех же формул получается

(52)

(53)

Выражениям (48) и (49) входных параметров отрезка линии при и учёте (50 - 53) путём элементарных преобразований можно придать вид:

Этими формулами удобно пользоваться, если известны (например, из эксперимента) значения комплексных входных параметров в предельных режимах (короткого замыкания и холостого хода).

2. Из первых четырёх выражений предыдущего примечания имеем

где

В свою очередь из последнего соотношения получаем

для T > 1 ;

для T < 1 ;

Ввиду того, что значение коэффициента b определяется неоднозначно, при его вычислении необходима проверка на соответствие неравенству

= 3×10⁸ м/с.

Минимальное значение b _k, удовлетворяющее этому неравенству, определяет лишь одно допустимое – максимальное – значение фазовой скорости волн напряжения и тока. Сделать выбор среди всех её других возможных значений, опираясь лишь на результатах измерения комплексных входных параметров отрезка линии в предельных режимах, нельзя.

3. По известным значениям характеристических параметров однородной линии легко найти и значения её первичных или погонных параметров, если воспользоваться их определениями (9), (14) и (17). Откуда

; .

Каждое из этих комплексных равенств распадается на два вещественных; при заданном значенииw полученные четыре уравнения решаются относительно R ₀, L ₀, G ₀ и L ₀.

На практике часто, в особенности при высоких частотах, значения потребляемой мощности в начале и в конце отрезка линии передачи близки. Тогда в любом режиме такой отрезок линии передачи удовлетворительно моделируется отрезком однородной линии без потерь. В отличие от неё модель, являвшаяся до сих пор объектом исследования, называют линией с потерями, а линию без потерь считают её подвидом. Применение такой, довольно грубой модели, можно считать обоснованным, если собственное затухание отрезка линии передачи a l в согласованном режиме не превышает 0,045 Нп; при этом с погрешностью не более 5%, и характеристики участка существенно упрощаются. Разновидности гармонического процесса в отрезке линии без потерь будут рассмотрены особо.

В отсутствие предварительной информации о характере процессов в отрезке линии или если эти процессы выступают в своей совокупности, пользуются самой общей и потому наиболее сложной моделью – однородной линией с потерями.