I Производная по направлению

В одномерном случае производная функции характеризует скорость изменения функции в данной точке в направлении оси . В двумерном случае частные производные функции характеризуют то же самое в направлении координатных осей.

Естественно поставить вопрос о скорости изменения функции в направлении произвольной оси .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и пусть ось задана углами и , которые она составляет с осями координат. Ось удобно задавать её ортом: . Будем считать, что ось проходит через точку и пусть точка – произвольная точка, лежащая на оси. Тогда , т.е. .

Определение 1. Пусть точка неограниченно приближается к точке вдоль оси . Предел вида

(1)

называется производной функции по направлению оси в точке и обозначается одним из символов

, , .

Теорема 1. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные первого порядка и пусть ось образует с осями координат углы и . Тогда производная данной функции по направлению оси в точке существует и выражается формулой

. (2)

Доказательство. Пусть – текущая точка оси . Так как , а и в силу того, что , будем иметь:

То есть, координаты текущей точки есть функции параметра . Тогда:

,

и из (1) имеем:

. (3)

Последний предел есть производная функции в нуле. Производная же сложной функции существует, ибо имеет непрерывные производные, а её аргументы и – дифферен-цируемы, при этом:

.

Рассмотрим последнее равенство при и получим

.

Теперь формула (3) и доказывает теорему.

Замечание. В случае функции трёх переменных и оси , имеющей орт формула (2) приобретает вид

.

Пример. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора , где .

Решение. Найдём единичный вектор, имеющий данное направление:

, , ,

откуда , . Далее, вычислим частные производные данной функции в точке : , , откуда , . Теперь по формуле (2) получим

.

II Градиент

Определение 2. Вектор, проекциями которого служат частные производные функции , называется градиентом функции

.

Для функции трёх переменных :

.

Связь градиента с производной по направлению даётся следующей теоремой.

Теорема 2. Производная функции по направлению есть проекция её градиента на это направление:

.

Доказательство. Проекция вектора на ось – это проекция вектора на орт оси. Проекцию же вектора на вектор можно найти, используя скалярное произведение:

.

Учитывая, что и , причём , получим:

.

Правая часть этого равенства в силу Теоремы 1 есть производная по направле-нию. Теорема доказана.

Следствие 1. Производная функции в точке по направлению оси достигает максимума, когда это направление совпадает с градиентом функции, причём

.

Таким образом, градиент функции в данной точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания функции в данной точке.

Следствие 2. Производная функции по направлению, перпендикулярному её градиенту, равна нулю.