Графики основных элементарных функций

 

Дадим сначала определения основных элементарных функций и элементарных функций, а затем построим графики основных элементарных функций.

 

Определение 1. Постоянная функция , степенная функция , показательная функция ( ), логарифмическая функция , тригонометрические функции: и обратные тригонометрические функции: называются основными элементарными функциями.

 

 

Определение 2. Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также конечного числа суперпозиций этих функций называются элементарными функциями.

 

Если график некоторой функции при смещении его на некоторый отрезок длины вдоль оси абсцисс совмещается сам с собой, то функция называется периодической. Длина такого отрезка называется периодом функции . Периодичность функции может быть кратко выражена формулой

Функция называется четной, если

и нечетной, если

В случае когда функция не является ни четной ни нечетной, т.е. и , то называется функцией общего вида.

 

Постоянная и степенная функции

 

Рассмотрим постоянную функцию . Область ее определения - вся числовая ось . График функции - это прямая, параллельная оси , проходящая через точку . На рис. 1 изображен график функции .

 

Рис. 1. График функции .

 

Степенная функция имеет график разной формы, в зависимости от значения . При , степенная функция обращается в постоянную: , а эта функция нами уже рассмотрена, поэтому положим .

В общем случае степенная функция определена при . Однако, при некоторых значениях область определения функции можно расширить. Рассмотрим часто встречающиеся ситуации.

1. Если - целое положительное число: , , то степенную функцию можно рассматривать на всей числовой прямой. На рис. 2 приведены графики функций , и .

 

 

Рис. 2. Графики функций , и .

 

2. Если - целое отрицательное число: , , то функция определена на всей числовой прямой за исключением точки . Приведем на рис. 3 (а, б) графики функций и .

Рис. 3. Графики функций , , и .

3. Если , то функция определена при . На рис. 3 (в, г) приведены графики функций и .

4. Если , то функция определена при . На рис. 4 приведен график функции .

Рис. 4. График функции .

1.2. Показательная и логарифическая функции

 

Показательная функция , определена на всей числовой оси. Её график имеет различный вид в зависимости от значения основания (см. рис. 5). Однако, при любых значениях график функции будет находиться выше оси , т.к. для всех , и проходить через точку , т.к. .

 

 

Рис. 5. Графики функции при и при .

Логарифмическая функция имеет смысл при , . Графики функции приведены на рис. 6 для и . При любом допустимом значении основания график проходит через точку

 

 

Рис. 6. Графики функции при и при .

 

Тригонометрические функции

 

Тригонометрические функции и опредены на всей числовой оси, переодические, с периодом и не принимают значения по абсолютной величине большие . Отметим также, что функция является нечетной, а функция - четной. Их графики изображены на рис. 7.

Линия, являющаяся графиком функции , называется синусоидой. График функции - тоже синусоида, она получается из графика смещением вдоль влево на отрезок .

Из рис. 7 видно, что график функции проходит через точку - начало координат, а функция проходит через точку . Графики обеих функций и и пересекают ось неограниченное число раз, это означает, что уравнения и имеют бесконечно много корней. Именно, решение уравнения имеет вид , где - целое число, а решением уравнения будут число , где - целое число.

 

Рис. 7. Графики функции и .

 

Тангенс и котангенс выражаются формулами и , а в такой форме записи видно, что графики этих функций будут иметь бесконечно много точек разрыва. Действительно, у в знаменателе находится , который обращается в нуль в точках , а будет иметь разрывы там, где синус равен нулю, т.е. в точках ( - целое число).

Обе функции и и являются нечетными и периодическими с периодом . Графики этих функций приведены на рис. 8.

 

 

Рис. 8. Графики функции и .