Как определять тип дифференциального уравнения первого порядка

Ø Прежде всего, нужно знать типы всех уравнений и признаки каждого из них на память.

Ø Затем усвоить алгоритм распознавания типа дифференциального уравнения, который состоит из проверки признаков типов дифференциальных уравнений.

Ниже приводится сводная таблица типов дифференциальных уравнений первого порядка и их признаков.

Тип	Название диф. ур-я	Общий вид	Признаки	Метод решения
I	Уравнение с разделяющимися переменными	или	В правой части (функции ) стоит произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной	Разделение переменных и интегрирование
II	Однородное уравнение		− однородная функция нулевого измерения; − однородные функции одного измерения
III	1. Линейное уравнение относительно 2. Линейное уравнение относительно		Функция, ее производная входят в уравнение в первой степени (линейно)
IV	1. Уравнение Бернулли относительно 2. Уравнение Бернулли относительно		Отличается от соответствующего линейного уравнения правой частью	Делим
V	Уравнение в полных дифференциалах

Как только данное уравнение совпадает по признакам (или общему виду) с одним из типов, его следует решать, воспользовавшись соответствующим этому типу методом.

Чтобы определить дифференциального уравнения, его лучше записать либо в виде

, либо − как проще.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

(2.1)

или

. (2.2)

Общим решением уравнения (2.1) называется функция

(2.3)

Эта функция зависит от переменной x и двух произвольных постоянных , обращает данное уравнение в верное равенство.

Общее решение уравнения (2.1), заданное в неявном виде

, (2.4)

называется общим интегралом.

Частное решение

, (2.5)

где − фиксированные числа, получаются из общего решения (2.3) при фиксированных значениях .

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения (2.1), удовлетворяющее условиям: .

Константы определяются из системы уравнений:

(2.6)

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие

Понижение порядка

Рассмотрим три частных случая, когда решение уравнения (2.2) с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такие преобразования уравнения (2.2) называются понижением порядка.

Уравнения вида

Уравнение не содержит .

Уравнение интегрируется подстановкой , которая дает возможность свести его к уравнению с разделяющимися переменными .

Уравнения вида

Уравнение не содержит y.

Положим, как и в предыдущем случае, , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно .

Уравнения вида

Уравнение не содержит x.

Вводим новую функцию , полагая . Тогда

.

Подставляя в уравнение выражения , получаем уравнение первого порядка относительно z как функции : .

Ниже приводится сводная таблица трех типов дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, и их признаков.

Тип	Вид уравнения	Признаки	Способ понижения порядка
А		Нет явно	Подстановка
Б	или	Явно нет y	Подстановка
В	или	Явно нет x	Подстановка