Последний результат говорит о том, что в начальный момент времени емкость как бы замыкается накоротко, и величина тока в цепи зависит только от активного сопротивления.

Предположим, что в момент включения источника мгновенное значение вынужденного напряжения на емкости оказалось равным нулю Это будет иметь место, если j - y = 0. При таком соотношении фаз никаких собственных процессов не возникает, и в цепи сразу устанавливается стационарный режим:

,

где .

В общем случае, когда j - y ¹ 0, напряжение на емкости, как следует из (11), может существенно отличаться от напряжения вынужденных колебаний. Наиболее характерным в этом отношении является переходный процесс, наблюдаемый при j - y = ± p/2.

На рисунке 11.3 приведена кривая изменения напряжения u_c в зависимости от t, построенная для цепи с большой постоянной времени при j - y = p/2. Из графика видно, что максимальные значения напряжения u_c почти в два раза превышают амплитуды напряжения вынужденных колебаний.

Рисунок 11.3 - Переходной процесс в цепи rC при включении гармонического напряжения и j - y = p/2

 

2.6.1 Операторный метод расчета переходных процессов

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:

p = a + jw. (12)

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике. Символический метод, рассмотренный ранее, является частным случаем данного при а = 0.

 

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением

, (13)

где f(t) — функция действительного переменного t, определенная при t³0 (при t<0,f(t) = 0)и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:

, (14)

где множитель М и показатель роста С₀ — положительные действительные числа. На рисунке 11.4 изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Рисунок 11.4 - Область определения функции комплексного переменного F(p)

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (13):

, (15)

где с - константа из решения (13).

Функция F(p), определяемая уравнением (13), носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) в (15) — оригинала. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного f(t) и комплексного F(p) переменного, связанных преобразованием Лапласа.

Для сокращенной записи преобразований (13), (15) используют следующую символику:

f(t) ≑ F(p); f(t) ⇆ F(p); F(p) = L[f(t)],

где L — оператор Лапласа.

{ Между парой преобразований Лапласа (13) и (15) и преобразований Фурье существует определенная связь: преобразование Фурье—это частный случай преобразования Лапласа для случая а=0. Действительно, приняв a=0, получим p=jw и (13), (15) переходят в преобразование Фурье. Следует отметить, что преобразование Лапласа имеет более широкую область определения, чем Фурье, так как последнее применимо согласно только к функциям, имеющим отрицательный показатель роста. Преобразование же Лапласа можно использовать согласно (14) и для функций с положительным показателем роста (в этой связи F(p) иногда называют обобщенным спектром сигнала). }

Доказана для F(p) справедливость ряда теорем:

1) линейности ≑ ; (16)

2) дифференцирования оригинала для ненулевых начальных условий:

f'(t) ≑ pF(p) — f(0_); (17)

 

для нулевых начальных условий:f'(t) ≑ pF(p); f"(t) ≑ p²F(p), и т. д.

3) интегрирование оригинала ≑ ; (18)

4) смещения в области действительного переменного (теорема смещения):

≑ ; (19)

5) изменения масштаба независимого переменного:

f(at) ≑ , a = const; (20)

6) свертывания

F₁(p)F₂(p) ≑ . (21)

Пример: найдем изображение по Лапласу типовых сигналов.

1) Единичная функция: , т.е. 1 ≑ 1/р.

2) Единичная импульсная функция, изображение которой можно найти в форме изображения двух единичных функций величины 1 (t) и сдвинутых друг относительно друга на t (рисунок 11.5).

Рисунок 11.5 - Единичная импульсная функция

Для этих функций с учетом теоремы смещения имеем:

; .