Некоторые частные формулы вычисления производных.

Каждая из формул для интерполяции многочлена (Лагранжа, Ньютона) может служить источником для получения различных формул вычисления производных, т.е. формул численного дифференцирования. Таких формул можно получить большое число, но для выяснения идеи их построения ограничимся несколькими примерами.

Например, возьмем в качестве многочлена (x) интерполяционную формулу Ньютона:

(x)=f(

Обозначим через . Получим f(x)≈ (x)=f()+

=

=

=

Аналогично можно получить формулы для вычисления производных в случае равноотстоящих узлов, т.е. x= +th, где t= , и возьмем формулу Ньютона интерполирования в нач. табл. или «интерполирования вперед».

f(x)≈ (x)=

=

=

Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов.

Нередко при обработке данных эксперимента встречаются со следующей задачей. В итоге опыта получен ряд значений x и y? однако характер функциональной зависимости между x и y неизвестен. Требуется по полученным данным найти аналитическое выражение зависимости между x и y. Формулы, которые получены в результате решения такого рода задач, называются эмпирическими.

Использование интерполяционных многочленов для этой цели не всегда целесообразно, т.к. совпадение значений полученной ф-ции с табличными значениями в узлах интерполяции не гарантирует достаточно малого различия указанных значений в других точках отличных от узлов.

Задача о построении эмпирической формулы состоит в следующем:

x			…
y			…

И пусть в y=φ(x; ) искомая эмпирическая формула, где параметры неизвестны. Обозначим через φ()- , i= , ─ уклонения эмпирической формулы, т.е. погрешности.

─ значения из верхней строчки таблицы, ─ из нижней.

Требуется так подобрать параметры , чтобы эти уклонения оказались наименьшими (в каком-то смысле). Для нахождения параметров используются методы:

1. метод средних

2. метод выбранных точек

3. метод наименьших квадратов.

 

Метод наименьших квадратов.

Пусть известен вид эмпирической формулы y=φ(x; ) и φ()- , i= , ─ уклонения эмпирической формулы.

По методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, при которых сумма квадратов уклонений является минимальной:

S()=

Воспользуемся необходимым условием экстремума ф-ций нескольких переменных, по которому частные производные равны 0:

; ; …; ;

Получили, так называемую нормальную систему для нахождения параметров . Если полученная система имеет единственное решение, то оно будет искомым.

Метод наименьших квадратов обладает тем преимуществом, что если сумма S квадратных уклонений мала, то сами эти уклонения также малы по абсолютной величине, чего нельзя сказать о методе средних. Недостаток метода наименьших квадратов – громоздкость вычислений.

Определение параметров эмпирических формул по методу наименьших квадратов в случае квадратичной зависимости.

Дана таблица:

x			…
y			…

Рассмотрим пары () как прямоугольные координаты на плоскости и предположим, что точки M(), i= , почти лежат на параболе. В этом случае естественно предположить, что между x и y существует квадратичная закономерность:

, i=

, i=

Выберем параметры a, b, c так, чтобы выполнялось S=

Необходимо, чтобы сумма была наименьшей. Для этого необходимо, чтобы =0; =0; =0;

Находя выражение для частных производных для ф-ции S по переменным a, b, c получим так называемую систему уравнений:

Из этой системы, используя, например метод Гаусса, и определяются параметры a, b, c эмпирической формулы.