Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка называется его портфелем. Эффективность портфеля (в простейшем случае это доход, приносимый ценными бумагами портфеля стоимостью одну денежную единицу за какой-нибудь промежуток времени) есть слу­чайная величина, обозначим ее через Ер, тогда ожидаемое значение этой эффективности m_р=M[E_p]=åx_im_i. Дисперсия портфеля есть D[E_p]=åx_ix_jV_ij.

Величина

может быть названа риском портфеля. Обычно D[E _p ] обозначается V _p. Итак, мы выразили эффективность и риск портфеля через эффективности составляющих его ценных бумаг и их ковариации.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг хочет иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако необходимо сделать опреде­ленный выбор между эффективностью и риском.

Математическая формализация задачи формирования оптимального портфеля такова:

Найти x _i, минимизирующие вариацию эффективности портфеля V_p=åx_ix_jV_ij, при условии, что обеспечивается заданное значение ожидаемой эффективности портфеля т _p, т.е. åx_im_i = m_p; поскольку x_i, - доли, то в сумме они должны составлять единицу: åx_i = 1. Оптимальное решение этой задачи обозначим x_i *.

Пусть V- матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, Х=(хi), М=(тi) - векторы-столбцы долей хi, капитала, вкладываемых в i-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, i=i,...,n. Пусть также I - n -мерный вектор-столбец, компоненты которого есть 1. Тогда оптимальное значение долей х* есть

Здесь V^-1 - матрица, обратная к V. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (верхний индекс Т означает транспонирование вектора-столбца), тоже получится число, причем кон­станта, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, V^-1(M-m ₀ I) -вектор-столбец размерности п. Видно, что этот вектор не зависит от эф­фективности портфеля т _р. Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг пропорциональный этому вектору также не зависит от m_p. Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от m _p. Од­нако сумма компонентов вектора X* зависит от т _p, именно, компоненты вектора X* пропорционально увеличиваются с ростом т _p, поэтому доля x ₀ безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

1) Необходимо сформировать оптимальный портфель заданной эффектив­ности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некор­релированных рисковых ожидаемой эффективности 5 и 6 и рисками 8 и 12. Решение. m ₀ = 2,

Зададимся эффективно­стью портфеля т _р =4. Теперь надо найти обратную матрицу к матрице V.

Вычислим знаменатель

Итак, вектор долей рисковых бумаг есть

Таким образом, рисковые доли должны быть x₁= 27/59, х₂= 16/59. Следовательно, х₀ = 1— 27/59 — 16/59 = 43/59.

Можно доказать, что риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности при наличии безрисковых бумаг равен (m _р -m _o )/d, где

2) Задача формирования портфеля макси­мальной эффективности из всех имеющих риск не более заданного.

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то в такой постановке зада­ча формирования такого оптимального портфеля имеет решение, очень похожее на предыдущее: Оптимальное значение долей х* рисковых бумаг есть:

Предположим, что s_р = 5

Тогда имеем, используя расчеты предыдущей задачи:

Таким образом, рисковые доли должны быть x₁ = 135/118, х₂ = 40/59. Следовательно, х₀ = 1 — 135/118 — 40/59 = -97/118. Так как х₀ < 0, то возникает необходимость в проведении операции “short-sale” (или просто взять нужную сумму в долг).

Можно доказать, что эффективность портфеля максимальной эффек­тивности в зависимости от заданного его риска s_р равна