Алгебраические моменты сил и пар сил

Рассмотрим плоскую систему сил, лежащих в координатной плоскости Oxy. Векторные моменты таких сил M _O= r F относительно точки O (или относительно любой другой точки, находящейся в плоскости Oxy), будут перпендикулярны этой плоскости, т.е. будут направлены вдоль оси Oz. Направления этих моментов можно отмечать знаком и определять моменты сил как алгебраические величины, равные проекциям векторных моментов на ось Oz.

Правило знаков алгебраических моментов сил (в правой системе координат, принятой в механике): момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело относительно точки О против хода часовой стрелки, и отрицательной - по ходу часовой стрелки.

На практике применяют геометрический и аналитический методы вычисления алгебраических моментов сил.

Алгебраический момент пары сил

Векторный момент пары сил, лежащих в плоскости Oxy, также направлен вдоль оси Oz, поскольку он равен векторному моменту одной из сил относительно точки приложения другой силы. Поэтому момент пары сил в этом случае также можно рассматривать как алгебраическую величину.

Алгебраический момент пары сил равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары: M=±F·d.

Правило знаков моментов пар сил аналогично правилу для моментов сил.

Для показанных на рисунке пар сил (P, P') и (Q, Q') их моменты имеют противоположные знаки: M₁=P·d₁; M₂=-Q·d₂.
Поскольку действие пары сил на тело полностью характеризуется ее моментом, на рисунках пару сил принято изображать дуговой стрелкой, показывающей направление действия момента.

Решение вопроса упрощает теорема Вариньона, согласно которой момент равнодействующей системы сил относительно какого-либо центра равен геометрической сумме моментов составляющих систему сил относительно того же центра.

Рисунок 1.17

Например, момент силы F относительно точки O можно определить как алгебраическую сумму моментов сил F_x и F_y (на которые можно разложить силу F) относительно той же точки O (рисунок 1.17). То есть

M_O(F)= -Fh = -F_x y + F_y x, (1.8)

где F_x,F_y, x и y – проекции на оси координат силы F и радиуса-вектора r.

Момент силы относительно оси. Способы вычисления момента силы относительно оси. Аналитические формулы для моментов силы относительно координатных осей.

Момент относительно оси

Для характеристики вращательного действия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3

Правило знаков

Момент считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную к оси, стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против движения часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по движению часовой стрелки:

M_z(F) = M_О(F_П) = ± h F_П,

где F_П – вектор проекции силы F на плоскость П, перпендикулярную к оси Oz, точка O – точка пересечения оси Oz с плоскостью П, h - плечо силы.

Свойства

Момент силы относительно оси обладает следующими свойствами:

1. момент равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси;
2. момент равен нулю, если линия действия силы пересекается с осью. В этом случае равно нулю плечо силы.

Другими словами, момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.