Одноканальная система массового обслуживания с отказами

Пусть СМО включает только один канал обслуживания и на ее вход подается пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ, т.е. непрерывная случайная величина T – время между двумя соседними заявками – распределена по закону Пуассона:

.

Другая случайная величина T_s – время обслуживания каналом одной заявки – также распределена по закону Пуассона с параметром μ:

.

Параметры λ и μ называются соответственно интенсивностью потока заявок и интенсивностью потока обслуживания. Например, среднее значение равно математическому ожиданию M(T_s), откуда и следует формула и название μ:

.

Состояния СМО характеризуются простаиванием или занятостью ее канала, т.е. система может находиться в одном из двух состояний: S₀ – канал свободен или S₁ – канал занят. Из состояния S₀ в состояние S₁ систему переводит поток входящих заявок, а из состояния S₁ в состояние S₀ – поток обслуживаний. Плотности вероятностей перехода из состояния S₀ в состояние S₁ и обратно равны соответственно λ и μ. Граф состояний СМО показан на рис.2.

 

Рис. 2

Пусть p₀(t) и p₁(t) соответственно вероятности состояний системы S₀ и S₁ в момент времени t. Справедливо условие (5):

p₀(t) + p₁(t) = 1. (6)

 

В силу того, что процесс является марковским, вероятности p₀(t) и p₁(t) удовлетворяют системе уравнений Колмогорова:

Подстановка условия (6) в систему приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно p₀(t)

. (7)

При условии, что в начальный момент времени t =0 канал свободен:

p₀(0) = 1, p₁(0) = 0,

получаем решение уравнения (7)

. (8)

Далее из условия (6) имеем

. (9)

Из формул (8) и (9) видно, что с ростом времени t вторые слагаемые в числителях стремятся к нулю, т.е. p₀(t) и p₁(t) заметно отличны от постоянных величин лишь в начале работы СМО. Рассмотрим предельные значения вероятностей состояния СМО, т.е. при . Тогда из (8) и (9) получаем:

,

.

Заметим, что при μ<λ вероятность отказа выше 0,5 и превышает вероятность обслуживания.

Теперь установим основные характеристики СМО. Поскольку вероятность обслуживания поступивших заявок равна p₀, а относительная пропускная способность Q равна отношению среднего числа обслуженных заявок к среднему числу заявок, поступивших за единицу времени, то Q = p₀, т.е. для одноканальной СМО с отказами

.

Абсолютная пропускная способность СМО – это среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени, или интенсивность выходящего потока обслуженных заявок – это часть интенсивности входящего потока заявок

.

Вероятность отказа в обслуживании заявки, когда канал занят, это вероятность p₁:

.

Среднее время обслуживания заявки есть величина, обратная μ

.

Аналогично, среднее время простоя канала равно

.

Среднее время пребывания заявки в системе рассчитывается по формуле:

.

Пример. Телефонная АТС имеет одну линию, на которую в среднем приходит 0,8 вызовов в минуту. Среднее время разговора 1,5 мин. Вызов, пришедший во время разговора, не обслуживается. Считая потоки вызовов пуассоновскими, найти абсолютную и относительную пропускную способность станции и вероятность отказа абоненту.

Решение. Телефонную станцию рассматриваем как одноканальную СМО с отказами. мин.; интенсивности поступающего и обслуженного потоков заявок равны соответственно λ = 0,8; μ = 0,67. Тогда по формулам, приведенным выше, имеем: Q = 0,455; p_r = 0,545; А = λQ = 0,364 выз./мин. Заметим здесь, что абсолютная пропускная способность СМО А оказалась почти вдвое меньше интенсивности μ потока обслуживания, это обусловлено случайным характером потока заявок.