Распознавание порядка полюсов f(z); поиск вычетов в полюсах.

Вычетом функции относительно точки (обозначается или ) называется число, равное

,

где - простой замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции и содержащий внутри себя только одну особую точку .

В качестве удобно брать окружность достаточно малого радиуса . Из определения следует, что вычет функции совпадает с коэффициентом разложения ее в ряд Лорана по степеням : . Отсюда следует, что вычет в устранимой особой точке равен нулю. Вычет в простом полюсе равен

.

Вычет функции в полюсе порядка равен

.

Если – существенно особая точка функции , то для определения необходимо найти коэффициент в лорановском разложении функции в окрестности точки .

Теорема Коши о вычетах. Если функция - аналитическая на границе области и внутри области, за исключением конечного числа изолированных особых точек , то

 

 

 

Теоремы Коши для односвязной и для многосвязной областей.

Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область, w = f(z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f(z) по L равен нулю:. Доказательство. Удивительно, но эта важнейшая теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, по доказанному выше, , то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим вследствие условий Коши-Римана. Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.

2. Теорема Коши для многосвязной области. Если функция w = f(z) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами L0 (внешняя граница), L1, L2, …, Lk, то интеграл от f(z), взятый по полной границе области , проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю.

Интегральные формулы Коши для ФКП:прямая и обобщенная.

Если функция аналитическая в , и - контур, охватывающий точку , то

, . (10)

Формула(10) показывает, что значения аналитической ФКП внутри контура определяются значениями функций на самом контуре. Например, если ФКП f(z₀) на (y) равна нулю (или, вообще, одному и тому же постоянному числу c), то, как следует из (10), f(z)=0 (илиf(z)=c) во всех точках внутри контура(y). Действительнозначные дифференцируемые функции в действительной области подобным свойством не обладают. Например, – определена и непрерывна внутри и на границе круга . На контуре эта функция f(x,y) равна нулю, но в любой внутренней точке круга .

При этом функция имеет всюду в производные любого порядка, для которых справедливы формулы

.

Элементы теории поля

Скалярное поле

Определения

Скалярное поле определяется скалярной функцией точки где - точка пространства, - ее радиус-вектор.

Градиент

Градиент скалярного поля – вектор

Свойства градиента

Векторное поле Определение Векторное поле определяется векторной функцией точки

где - точка пространства, - ее радиус-вектор.

Формула Остроградского