Совместные и несовместные события.

Совместные и несовместные события.

Совместные события – появление одного события не исключает появление второго события. (ex. на лекцию может прийти как прогульщик Петров, так и прогульщик Иванов)

Несовместные события – появление одного события исключает появление второго.

4. Зависимые и независимые события.

Зависимые события – появление или непоявление одного из них изменяет вероятность появления другого. (ex. в урне 10 красных шаров и 8 белых. Наугад подряд вынимают 2 шара. Вер-ть вынимания второго шара опр. цвета зависит от того, какого цвета был первый шар)

Независимые события – появление или непоявление одного из них не изменяет вероятность появления другого.(ex. при кидании двух костей выпавшее число очков на одной кости не зависит от выпавшего числа очков на другой)

5. Определение вероятности. Свойства вероятности различных событий.

Определение вероятности: P(A)=m/n,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A

n – общее число возможных элементарных исходов испытания.

Вероятностью появления некоторого события называется отношение случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу равновозможных в данном опыте случаев.

0≤P≤1

Если P=0, событие недостоверное.

Если P=1, событие достоверное.

Если 0<P<1, событие случайное.

6. Полная группа событий. Теорема и следствия.

События образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и в сумме дают достоверное событие. P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1

Следствие 1. P(A) + P(Ā)=1

Следствие 2. P(A)= 1-P(Ā)

7. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B); P(A) + P(Ā)=1

Следствие 1: вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

Следствие 2: сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий, равна 1. P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1

8. Теоремы умножения вероятностей для зависимых (условная вер-ть) и независимых (безусловная вер-ть) событий.

Условной вероятностью P(A/B) называют вероятность события A, вычисленную в предположении, что событие B уже наступило. A,B – зависимые события. P(A·B)=P(B)·P(A/B)

Безусловной вероятностью называют

A,B – независимые события.P(A·B)=P(A)·P(B)

Повторные испытания. Формула Бернулли.

Используется, если требуется найти вероятность того, что из серии n испытаний событие наступило ровно mраз.

Несколько испытаний называются независимыми, если вер-ть исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие испытания.

,где

n – общее число повторных независимых испытаний

m–сколько раз должно произойти событие

p – вер-ть события в каждом опыте

q – вер-ть противоположного события

 

Формула перестановок.

Имеется n последовательно расположенных неодинаковых элементов. По следующей формуле находится количество способов, которыми их можно переставить.

Формула сочетаний.

Совместные и несовместные события.

Совместные события – появление одного события не исключает появление второго события. (ex. на лекцию может прийти как прогульщик Петров, так и прогульщик Иванов)

Несовместные события – появление одного события исключает появление второго.

4. Зависимые и независимые события.

Зависимые события – появление или непоявление одного из них изменяет вероятность появления другого. (ex. в урне 10 красных шаров и 8 белых. Наугад подряд вынимают 2 шара. Вер-ть вынимания второго шара опр. цвета зависит от того, какого цвета был первый шар)

Независимые события – появление или непоявление одного из них не изменяет вероятность появления другого.(ex. при кидании двух костей выпавшее число очков на одной кости не зависит от выпавшего числа очков на другой)

5. Определение вероятности. Свойства вероятности различных событий.

Определение вероятности: P(A)=m/n,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A

n – общее число возможных элементарных исходов испытания.

Вероятностью появления некоторого события называется отношение случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу равновозможных в данном опыте случаев.

0≤P≤1

Если P=0, событие недостоверное.

Если P=1, событие достоверное.

Если 0<P<1, событие случайное.

6. Полная группа событий. Теорема и следствия.

События образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и в сумме дают достоверное событие. P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1

Следствие 1. P(A) + P(Ā)=1

Следствие 2. P(A)= 1-P(Ā)

7. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B); P(A) + P(Ā)=1

Следствие 1: вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

Следствие 2: сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий, равна 1. P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1

8. Теоремы умножения вероятностей для зависимых (условная вер-ть) и независимых (безусловная вер-ть) событий.

Условной вероятностью P(A/B) называют вероятность события A, вычисленную в предположении, что событие B уже наступило. A,B – зависимые события. P(A·B)=P(B)·P(A/B)

Безусловной вероятностью называют

A,B – независимые события.P(A·B)=P(A)·P(B)