Методы интегрирования определенного интеграла

12.4. Геометрическое приложение определенного интеграла

Несобственный интеграл

 

Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования и его свойства.

Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любом

Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любом меньшем отрезке и следовательно для любого . Чтобы не смешивать обозначения верхнего предела и переменной интегрирования, будем записывать его в виде .

Определение. Для функции , интегрируемой на , интеграл вида

 

, где , называется интегралом с переменным верхним пределом

интегрирования.

Рассмотрим функцию .

Теорема 1. Если интегрируема на , то непрерывна на .

Теорема 2. Если непрерывна на , то дифференцируема на и ее производная (иначе говоря: производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции на верхнем пределе интегрирования).

Доказательство. так как при вследствие непрерывности функции на по условию.

Следствие. Определенный интеграл с переменным верхним пределом функции является первообразной для функции .

Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Теорема. Пусть непрерывна на и какая-либо первообразная

для , тогда .

Доказательство. Так как - первообразная на по условию и первообразная для на по теореме 1, то . Будем поочередно считать и , тогда , т.е. - формула Ньютона-Лейбница.

Отметим еще два варианта формулы:

, .

Пример. .

Методы интегрирования определенного интеграла.

 

а) Метод непосредственного интегрирования определенного интеграла основан на применении таблицы интегралов, свойств интеграла, формулы Ньютона-Лейбница и элементарных преобразований подынтегральной функции.

Пример.

б) Метод интегрирования по частям.

Теорема. Пусть и имеют непрерывные производные на , тогда

 

в) Метод подстановки (замена переменной)

Теорема. Пусть непрерывна на , а функция имеет

непрерывную производную на и при значения , причем , , тогда .

Пример.

Геометрические приложения определенного интеграла.

1) Вычисление площадей плоских фигур.

Если .

 

Если .

 

Если .

 

 

Если .

 

Если фигура ограничена кривой, заданной параметрически, то есть

, тогда .

2) Вычисление длин друг кривых.

Пусть кривая L задана явно, то есть , , тогда длина .

Если L задана параметрически , то .

3) Вычисление объемов тел вращения.

Пусть , . Будем вращать кривую вокруг оси 0X, тогда объем тела, полученного при вращении кривой, вычисляют по формуле

.

Если же кривую , вращать вокруг оси 0Y, то

.

 

Несобственные интегралы.

Рассмотрим . Функция определена на конечном промежутке и ограничена на нем. Если нарушается хотя бы одно из двух требований, то мы имеем дело с несобственным интегралом.

1. Пусть нарушается требование конечности чисел a и (или) b. При этом возможны случаи:

1) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном промежутке , где .

Несобственным интегралом первого рода называется и обозначается , то есть (1).

Если предел в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и его значение равно пределу правой части. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся.

2) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном промежутке ,

Несобственный интеграл первого рода в этом случае определяется по формуле (2).

3) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном отрезке этого интервала, тогда (3), причем несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства (3). Если хотя бы один из них расходится, то расходится интеграл в левой части.

Замечание. Если первообразная функции на , тогда справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница , где , .

Пример.

2. Пусть нарушается требование ограниченности функции .

1) Пусть функция непрерывна на и , тогда (4).

2) Если непрерывна на и , тогда (5).

Интегралы в левой части равенств (4) и (5) называются сходящимися, если в правой части этих равенств предел существует и конечен и значение несобственного интеграла равно пределу правой части. Если в правой части равенств (4) и (5) пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы в левой части этих формул называются расходящимися.

3) Если непрерывна на и , тогда (6).

Интеграл в левой части равенства (6) называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части этой формулы; и расходящимся, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части этой формулы.

Пример. Установить сходимость интеграла .

Так как и , то есть расходится, и потому данный интеграл расходится.