I. На использование принципов умножения и сложения

Задача 18. Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе?

Решение задачи: Существует 8 мест, которые должны занять 8 человек. На первое место может стать любой из 8 человек, т.е. способов занять первое место – 8. После того, как один человек стал на первое место, осталось 7 мест и 7 человек, которые могут быть на них размещены, т.е. способов занять второе место – семь. Аналогично для третьего, четвертого и т.д. места. Используя принцип умножения, получаем произведение – . Такое произведение обозначается как 8! (читается 8 факториал) и называется перестановкой P_8. Ответ: P_{8 =} 8!

Задача 19. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. 1) Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из трех букв, причем эти буквы могут повторяться? 2) Если позывные состоят из четырех букв, которые не повторяются?

Решение задачи:

В современном латинском алфавите 26 букв. На первом месте всегда должна стоять одна буква, следовательно, существует только один способ занять первое место.

1) На оставшиеся два места может претендовать любая из 26-ти букв, т.к. буквы в позывных могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: 1 = 26^2.

2) На второе место можно поставить любую из 25 букв, т.к. в позывных буквы не должны повторяться. На третье место – 24 буквы, на четвертое место – 23 буквы. Используя принцип умножения, получаем произведение: 1 . Ответ: 1) 26²; 2) .

Задача 20. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

Решение задачи:

Действие, которое должно быть выполнено особым способом, необходимо выполнять первым. Итак, на место водителя можно посадить только одного из трех человек (умеющего водить машину), т.е. существуют 3 способа занять первое место. Второе место может занять любой из 6 человек, оставшихся после того, как место водителя будет занято. И т.д. Используя принцип умножения, получаем произведение: 3 = 3 6! = 3 P₆. Ответ: 3 P₆ = 3 6!.

Задача 21. Алфавит некоторого языка содержит 30 букв. Сколько существует шестибуквенных слов (цепочка букв от пробела до пробела), составленных из букв этого алфавита, если:

1) буквы в словах не повторяются?

2) буквы в словах могут повторяться?

Решение задачи:

Существует шесть мест, на которые нужно разместить 30 букв.

1. Буквы не должны повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: . Такое произведение достаточно сложно использовать в дальнейшем, и информация задачи представлена в ней в скрытой форме. В комбинаторике используют для таких произведений формулу размещений. Чтобы получить формулу размещений, умножим это произведение на единицу, которую представим следующим образом: 1 = = = = = А ‑ формула для размещений.

2. Буквы повторяются. Используя принцип умножения, получаем: 30 30 30 30 30 30 = 30⁶ = Ã – формула для размещений с повторениями.

Ответ: 1) А ; 2) Ã .

Задача 22. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?

Решение задачи:

Необходимо посчитать, сколько существует трехзначных, четырехзначных и пятизначных чисел, составленных из этих пяти цифр. Трехзначных чисел - 5 4 3 = А , четырехзначных – 5 4 3 2 = А , пятизначных – 5 4 3 2 1 = А . Используем принцип сложения: А + А + А = 60 + 120 + 120 = 300. Ответ: 300.