Механический смысл дисперсии

Механической аналогией дисперсии является момент инерции заданного распределения единичной линейной массы относительно оси, проходящей через центр тяжести (математическое ожидание) системы.

Действительно, при p_i=m_i формула (12.2.2) приобретает вид:

,

где m_i – сосредоточенные массы, расположенные на оси абсцисс. Аналогично формулу (12.2.3) перепишем в виде

где m(х) – линейная плотность распределения масс. Из механики известно, что правые части двух последних формул представляют собой моменты инерции относительно оси, проходящей через точку а, такую, что , т.е. через центр тяжести системы.

Сокращённая формула для вычисления дисперсии

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания:

. (12.4.1)

Замечание 1. , т.к. величины и зависимы.

Замечание 2. При доказательстве была применена формула квадрата разности к случайной величине . По определению произведения случайных величин и согласно теореме 2 о квадрате случайной величины её возможные значения равны . Это возможные значения случайной величины . Поэтому можно использовать равенство .

Для непрерывной случайной величины формула (12.4.1) имеет вид:

. (12.4.2)

Если все возможные значения непрерывной случайной величины Х сосредоточены на отрезке [ a, b ], то:

. (12.4.3)

Замечание. Формулу (12.4.1) иногда записывают в виде

.

Пример. Найдем дисперсию случайной величины предыдущего примера по формуле (12.4.1). Для этого составим ряд случайной величины Х ²:

Х 2
р	0,3	0,7

 

.

Получено то же значение, что и по определению дисперсии.

Свойства дисперсии

Все свойства докажем для дискретных случайных величин, но ими обладают и непрерывные величины.

1. Дисперсия случайной величины неотрицательна:

.

2. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

Замечание. Действительно, если случайная величина принимает только одно значение, то у нее нет разброса значений (рассеиваться она не может).

3. Нелинейность относительно умножения на константу. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

. (12.5.1)

4.Линейность относительно суммирования. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

. (12.5.2)

Доказательство. Воспользуемся свойствами математического ожидания и независимостью величин Х и Y (тогда математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий).

.

Следствие 1. Свойство 4 можно распространить на любое конечное число слагаемых. Доказательство аналогично линейному свойству математического ожидания.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины:

(12.5.3)

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

(12.5.4)

Доказательство. По свойствам 4 и 3