Моделирование процесса в пространстве состояний.

a) Расчет объема выборкиdim:

(с)

 

б) Расчет коэффициентов для построения модели в пространстве состояний:

Формирование белого шума:

Запишем алгоритм моделирования в пространстве состояний в пакет Mathcad:

Из разработанного алгоритма построим графики случайного процесса:

Рис. 7. График случайного процесса в пространстве состояний с заданной корреляционной функцией (процесс).

Рис. 8.График случайного процесса в пространстве состояний с заданной корреляционной функцией (производная процесса).

Вывод: сравнивая графики для процесса и его производной можно отметить, что вторая компонента более высокочастотная, чем первая.

Для исследования производная процесса не нужна, поэтому далее будет использоваться только первая компонента H₁ = Z1.

Характеристики процесса

- Математическое ожидание процесса.

Мат. ожидание находится по следующей формуле:

(5)

- Дисперсия процесса.

Дисперсия процесса определяется по следующей формуле:

(6)

Нормировка.

Проведем нормировку полученного ранее процесса Z1:

(8)

Найдем мат. ожидание нормированного процесса Z1norm:

(9)

- рассчитанное вручную мат. ожидание.

- встроенная функция расчета мат. ожидания.

Вывод: исходя из того, что рассчитанное вручную и рассчитанное встроенными методами Mathcadмат. ожидания совпадают, можно утверждать о правильности выполнения нормировки.

(10)

Dnorm = 1 - рассчитанная вручную дисперсия.

- встроенная функция расчета дисперсии.

Вывод: исходя из того, что рассчитанная вручную и рассчитанная встроенными методами Mathcadдисперсия совпадают, можно утверждать о правильности выполнения нормировки.

 

Построим график:

Рис. 9 График нормированного и обычного процессов.

Вывод: исходя из того, что графики близки друг к другу, можно утверждать о правильности выполнения нормировки.

 

Корреляционная функция.

Начальное значение плотности распределения находится по формуле:

(11)

Расчет плотности распределения:

 

По полученным выражениям построим графики:

Рис. 10. График зависимости статистической (r(t)) и теоретической K(t) корреляционных функций от времени.

 

Вывод: по графику видно, чтотеоретическая и статистическая корреляционные функции по своему характеру довольно близки. Особенно это важно для начальных моментов времени, значения на которых будут использоваться для построения моделей процессов.

Для производной корреляционные функции имеют вид, представленный на рисунке 11.

 

Рис.11. График зависимости статистической (r2(t)) и теоретической dK(t) корреляционных функцийпроизводной процесса от времени.

Вывод: согласно графику, статистическая корреляционная функция неточно описывает заданную теоретическую, поэтому далее она не берется на рассмотрение.