Занятие 5. Системы случайных величин

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины (Х,Y) называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (x_i,y_i) и их вероятностей P_ij. Закон распределения обычно задают в виде таблицы с двойным входом:

X	x1	x2	x3	…	xn
Y
y1	p11	p12	p13	…	p1n
Y2	p21	p22	p23	…	p2n
…	…	…	…	…	…
ym	pm1	pm2	pm3	…	pmn

События () при () образуют полную группу, поэтому

По заданному закону распределения двумерной дискретной величины можно найти законы распределения составляющих. Для того, чтобы найти вероятность события или Y=y_i, надо использовать теорему сложения и суммировать вероятности i- го столбца или j -ой строки соответственно

и .

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Y	y1	y2	…	ym
q	q1	q2	…	qm

Функция распределения является универсальным способом задания двумерной случайной величины, пригодным как для дискретных систем, так и для непрерывных.

Функцией распределения системы двух случайных величин (X,Y) называется вероятность совместного выполнения неравенств: X<x и Y<y, т.е.

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если F (x,y) непрерывна на всей плоскости и существуют частные производные

непрерывные на всей плоскости, за исключением отдельных точек и линий.

Плотностью совместного распределения вероятностей f (x,y) двумерной непрерывной случайной величины (X,Y) называется вторая смешанная частная производная от функции распределения:

Пример 5.1. Двумерная непрерывная случайная величина (X, Y) задана функцией распределения

Найти плотность совместного распределения .

Решение. Найдем производные

следовательно,

Функция распределения F (x,y) выражается через плотность распределения f(x,y) следующим образом:

Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:

Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D определяется равенством

Пример 5.2. Двумерная непрерывная случайная величина (X,Y) задана плотностью распределения вероятнотей

.

Найти: a, и вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами .

Решение.

1. Из условия найдем параметр a

=

2.

Чтобы найти плотность распределения случайной величины Х, входящей в систему (Х,Y), надо проинтегрировать двумерную плотность f (x,y) по всем возможным значениям случайной величины Y.

Аналогично получается

Обратно: по известным плотностям f_х (x) и f_у (y) найти плотность распределения f (x,y) системы в общем случае нельзя. Для решения этой задачи надо еще знать зависимость между этими величинами.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина, т.е. плотность распределения f (x,y) распадается на два множителя, один из которых зависит только от х, а другой только от у. В противном случае величины называются зависимыми.

Пример 5.3. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью распределения вероятностей

. Являются ли случайные величины Х и Y зависимыми?

Решение. Преобразуем f (x, y), разложив знаменатель на множители

;

и , т.е. случайные величины X и Y независимы.

Пример 5.4. Двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри круга радиуса R с центром в начале координат, т.е. в области D:

Проверить, будут ли величины X и Y независимы?

Решение. Найдем плотности распределения f_х (x) и f_у (y):

Теперь очевидно, что т.е величины X и Y зависимы.

Задачи для самостоятельного решения

1. Двумерная случайная величина задана таблицей

 

Y	Х
0,5	0,1	0,3	0,25
1,5	0,15	0,15	0,05

Найти законы распределения составляющих.

2. Задана функция распределения двумерной случайной величины

Найти двумерную плотность вероятностей системы.