ВОПРОС№20: Теорема существования и непрерывности обратной функции.

Теорема (о существовании и непрерывности обратной функции). Пусть на интервале (a,b) определена непрерывная возрастающая (убывающая)функция y=f(x). Обозначим

Тогда на интервале (А, В) определена обратная функция , которая возрастает(убывает) на этом интервале и является непрерывной в каждой точке этого интервала.

 

 

ВОПРОС№22: Дифференцируемые функции. Критерий дифференцируемости

Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x, называется дифференцируемой в этой точке, если верна формула

f (x штрих + ▲ x штрих) - f (x штрих) =S Ai ▲ xi +Sai ( ▲ x штрих) ▲ xi (3)

где i A – числа, а функции ai (▲ x штрих) удовлетворяют условию

ai (▲ x штрих)→ 0 ( i = 1,2,…, n ) при ▲ x →0. (4)

Теорема. Пусть функция f дифференцируема в точке x. Тогда в этой точке у нее существуют частные производные и выполнены равенства

(df(x штрих))/ (dxi)= Ai(i=1,2,…,n).

Доказательство. Из формулы (3) следует, что

(f (x1,...,xi-1,xi+▲ xi,xi+1,...,xn)- f (x1,...,xi-1,xi,xi+1,...,x n))/(▲Xi)= Ai+αi(▲Xi).

Переходя к пределу при ▲x i → 0, получим равенство (5).

Теорема (достаточные условия дифференцируемости функции). Если функция f имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки x штрих, причем все эти частные производные непрерывны в самой

точке x штрих, то указанная функция дифференцируема в этой точке.

Теорема (критерий дифференцируемости функции). Функция f (x), определенная в окрестности точки x, дифференцируема в этой точке тогда и только тогда, когда существует производная f ׳(x). При этом F = f ׳(x).

Доказательство. Пусть существует производная f ׳(x). Обозначим

a(t) =(((f(t)-f(x)) /(t-x)) - f׳ (x)

Тогда

f(t) =f (x)+ (t-x) f׳(x)+ (t-x)α (t),(α(t)→0). (2)

Пусть теперь выполнено равенство (1). Тогда

((f(t)-f(x)) /(t-x) = F+ α(t),limα(t) = 0.

Следовательно, существует производная f ׳(x)= F.

ВОПРОС№23: Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’

2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

· Задача. Найти производные функций: f(x) = x² + sin x; g(x) = x⁴ + 2x² − 3.

Решение. Функция f(x) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

f ’(x) = (x² + sin x)’ = (x²)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;

Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

g ’(x) = (x⁴ + 2x² − 3)’ = (x⁴ + 2x² + (−3))’ = (x⁴)’ + (2x²)’ + (−3)’ = 4x³ + 4x + 0 = 4x · (x² + 1).

Ответ:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x² + 1).

Производная произведения

Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

· Задача. Найти производные функций: f(x) = x³ · cos x; g(x) = (x² + 7x − 7) · e^x.

Решение. Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x) = (x³ · cos x)’ = (x³)’ · cos x + x³ · (cos x)’ = 3x² · cos x + x³ · (− sin x) = x² · (3cos x − x · sin x)

У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’(x) = ((x² + 7x − 7) · e^x)’ = (x² + 7x − 7)’ · e^x + (x² + 7x − 7) · (e^x)’ = (2x + 7) · e^x + (x² + 7x − 7) · e^x = e^x · (2x + 7 + x² + 7x −7) = (x² + 9x) · e^x = x(x + 9) · e^x.

Ответ:
f ’(x) = x² · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · e^x.

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Производная частного

Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h(x) = f(x)/g(x). Для такой функции тоже можно найти производную:

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g²? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x³ · cos x; g(x) = (x² + 7x − 7) · e^x.

Решение. Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x) = (x³ · cos x)’ = (x³)’ · cos x + x³ · (cos x)’ = 3x² · cos x + x³ · (− sin x) = x² · (3cos x − x · sin x)

У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’(x) = ((x² + 7x − 7) · e^x)’ = (x² + 7x − 7)’ · e^x + (x² + 7x − 7) · (e^x)’ = (2x + 7) · e^x + (x² + 7x − 7) · e^x = e^x · (2x + 7 + x² + 7x −7) = (x² + 9x) · e^x = x(x + 9) · e^x.

Ответ:
f ’(x) = x² · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · e^x