Значения А и j для отдельных видов одномерного потока

Массовый дебит М в уравнении (IV.18), очевидно, содержит тот знак, который имеет производная левой части. По принятому нами в настоящем параграфе условию надо считать, что дебит М положителен, если отсчитывается от стока, т. е. галерея или скважина — эксплуатационная; М — отрицателен, если жидкость или газ нагнетаются в пласт. Разделив в (IV.18) переменные и интегрируя, найдем, что

, (IV.19)

где С — произвольная постоянная.

Формула (IV.19) даёт общее решение уравнения (IV.18), справедливое при значениях j= 0; 2. При j = 1 (случай плоско-радиального потока) можно условиться, что . Тогда мы получим взамен (IV.19) такое выражение для :

(IV.20)

Это решение есть результат непосредственного интегрирования уравнения (IV.18) при условии, что j = 1. Остаётся найти единственное решение, соответствующее заданным граничным условиям.

Для нахождения единственного решения определим, пользуясь граничными условиями, произвольную постоянную С в равенствах (IV.19) и (IV.20). Здесь могут представиться, например, два ниже следующих варианта задачи.

В одном варианте нам известны: постоянный массовый дебит М и значение потенциальной функции на одной из граничных поверхностей рассматриваемой области пласта, например, на стенке (забое) эксплуатационной скважины или галереи. Пусть на указанной граничной поверхности , а . Подставляя эти значения и в равенство (IV.19), находим С, после чего решение уравнения (IV.18) получит такой вид:

. (IV.21)

В другом варианте требуется определить постоянный массовый дебит М, а заданы значения функции на двух граничных поверхностях пласта, например на стенке (забое) эксплуатационной скважины или галереи и на границе пласта с областью питания.

Пусть при функция , а при функция . Подставляя в равенство (IV.19) один раз значения и , а другой раз значения и и исключая из двух полученных уравнений постоянную С, найдем массовый дебит М или объёмный дебит :

(IV.22)

где значения А и j приведены в табл. 1.

Исключая из (IV.21) величину, при помощи формулы (IV.22) получим:

. (IV.23)

По формуле (IV.23) можно определять значение функции для любой точки пласта с координатой , если дебит М не известен.

В случае плоско-радиального потока (j=1) соответственно рассмотренным выше двум вариантам задачи и поставленным граничным условиям получим равенства:

(IV.24)

(IV.25)

(IV.26)

Итак, формулы (IV.20), (IV.24) — (IV.26) действительны только в случае плоско-радиального потенциального потока любой жидкости. Для всех остальных случаев потенциального одномерного потока имеем формулы (IV.19), (IV.21) — (IV.23).

Заметим, что при рассмотрении в этом параграфе простейших потенциальных одномерных потоков любой жидкости мы фиксировали внимание только на одном отличительном признаке потоков — на их форме (виде); поток характеризовался как бы с геометрической точки зрения. Форма потока нашла своё выражение в показателе j (j = 0; 1; 2). Мы пока не рассматривали вопрос о различиях, которые может внести в существо дела природа самой жидкости. Обобщая решение задачи на все виды жидкости, мы отвлекаемся от ее физических свойств.