Поверхностный интеграл II рода.

Пусть задана гладкая поверхность . Сторона поверхности , в каждой точки которой построен вектор нормали , называется положительной, а другая ее сторона (если она существует) – отрицательной. Если, в частности, поверхность является замкнутой и ограничивает некоторую область пространства , то положительной или внешней сторонойповерхности называется та ее сторона, нормальные векторы которой направлены от области , а отрицательной или внутренней – сторона, нормальные векторы которой направлены в область .

Поверхность, у которой существует положительная (внешняя) и отрицательная (внутренняя) стороны, называется двухсторонней. Примерами двухсторонних поверхностей являются плоскость, поверхности второго порядка, тор и др. Двухсторонняя поверхность характеризуется следующим свойством: если основание вектора нормали непрерывно перемещать по любому замкнутому контуру , лежащему на такой поверхности, то при возвращении в исходную точку направление совпадает с исходным. Для односторонних поверхностей указанное перемещение нормали при возвращении в исходную точку приводит к «антинормали», т.е. к вектору . Классическим примером односторонней поверхности является лист Мебиуса.

Поверхность с выбранной стороной называется ориентированной.

Пусть в прямоугольной системе координат задана некоторая область . И пусть в этой области задана поверхность , ограниченная некоторой пространственной линией .Относительно поверхности будем предполагать, что в каждой ее точке определяется положительное направление нормали единичным вектором , направляющие косинусы которого являются непрерывными функциями координат точек поверхности.

Если поверхность задана уравнением , то нормальный вектор , образующий с осью острый угол , определяется следующим образом: , тогда координаты единичного вектора нормали :

.

Если поверхность задана уравнением , то

,

где знак «+» берется в случае, когда угол - острый, а знак «-» в случае, когда - тупой. Пусть в области пространства определена вектор-функция

,

где - функции непрерывные в области .Разобьем поверхность на элементарные площадки , площадки которых , а диаметры – через . На каждой площадке выберем произвольную точку . Найдем интегральную сумму .

Предел интегральной суммы, найденный при условии, что , , называется поверхностным интегралом второго рода от вектор-функции по поверхности и обозначается .

Таким образом, по определению

.

Надо отметить, что если поверхность такова, что в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности, и если вектор-функция непрерывна на этой поверхности, то этот предел существует.

Произведение есть проекция площадки на плоскость , то . Аналогично получаем: , . Тогда формулу (3.3) можно записать в виде

. (3.4)

Каждое слагаемое интегральной суммы может быть истолковано механически следующим образом: это произведение равно объему цилиндра с основанием и высотой . Если вектор есть скорость

Формула Стокса

Рассмотрим в пространстве кусок двухсторонней кусочно-гладкой поверхности , край которой образуется кусочно-гладкой кривой . Выберем положительную сторону поверхности (из конца единичного вектора нормали обход границы представляется против часовой стрелки). Для циркуляции векторного поля вдоль контура границы имеет место формула Стокса: , где - компоненты векторного поля, - направляющие косинусы вектора нормали.

Вариант №2 .

(4.14)

Эту же формулу Стокса можно записать и векторной форме:

. (4.15)

Формула (4.15) означает следующее: циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность , краем которой является контур . Направление обхода по контуру и сторона поверхности одновременно или положительные, или отрицательные.