Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости двух и трех векторов.

Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости двух и трех векторов.

Вектор называется линейной комбинацией векторов , ,…, , если он получен из этих векторов проведением над ними линейных операций его можно представить в виде , где , ,…, − некоторые числа. Это равенство называют также разложением вектора по векторам , ,…, .

Векторы , ,…, являются линейно зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Например, . В противном случае (т.е. ни один из векторов , ,…, не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных) векторы являются линейно независимыми.

Пара векторов на плоскости является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.

Тройка векторов в пространстве является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

 

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов

Для того что бы 2 не нулевых вектора были колинеларны необходимо и достаточно что бы они были линейно зависимы.

Необходимость:

Достаточность:

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов:

Для того что бы 3 не нулевых вектора были компланарными необходимо и достаточно что бы они были линейно зависимы.

Необходимость: дано:

Очевидно если хотя бы пара из них колинеарны, следовательно они компланарны т.е. линейно зависимы

Достаточность:

Формулы деления векторов в данном отношении.

Точка М делит отрезок АВ в отношении λ, если выполняется равенство .

Если , , , то

, , .

Особый интерес представляет случай, когда точка М делит отрезок АВ пополам. Тогда =1 и координаты середины отрезка вычисляются по формулам

, , .

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними .

Свойства скалярного произведения:

1) (коммутативность);

2) (дистрибутивность);

3) , если или , или перпендикулярно ;

4) .

Первые три свойства показывают, что скалярное умножение суммы векторов на другую сумму можно производить по обычному правилу умножения многочленов.

Найдем выражение скалярного произведения векторов и в декартовых координатах. Для этого запишем разложение векторов и в базисе , , и с учетом свойства скалярного произведения получим

 

Учитывая, что

получим

Таким образом, скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Скалярное произведение векторов используется при решении ряда задач:

1) нахождение угла между векторами и :

;

2) вычисление проекции одного вектора на направление другого вектора:

;

3) проверка перпендикулярности двух векторов:

׀ , т.е. ;

4) вычисление работы постоянной силы вдоль прямолинейного участка пути (вектор перемещения ):

.

Определение точки пересечения прямой и плоскости

Для нахождения точки пересечения решаем систему из трех уравнений. Если решение единственное, то оно является корд. Точки пересечения. Если решений бесконечное мно-во, то прямая принадлежит плоскости. Если решений нет, то прямая не пересекается с плоскостью.

Скрещевающиесь прямые

Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости двух и трех векторов.

Вектор называется линейной комбинацией векторов , ,…, , если он получен из этих векторов проведением над ними линейных операций его можно представить в виде , где , ,…, − некоторые числа. Это равенство называют также разложением вектора по векторам , ,…, .

Векторы , ,…, являются линейно зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Например, . В противном случае (т.е. ни один из векторов , ,…, не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных) векторы являются линейно независимыми.

Пара векторов на плоскости является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.

Тройка векторов в пространстве является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.